Empirical Bayes Model Comparisons for Differential Methylation Analysis

Table 2

Five empirical Bayes model frameworks.

Empirical Bayes model	H0∶𝑝0(𝑦𝑖𝑟,𝑦𝑖𝑔)	HA∶𝑝𝐴(𝑦𝑖𝑟,𝑦𝑖𝑔)	Likelihood ∏𝑖{(𝑝𝐴(𝑦𝑖𝑟,𝑦𝑖𝑔)∗𝑝)^𝑧𝑖∗(𝑝0(𝑦𝑖𝑟,𝑦𝑖𝑔)∗(1−𝑝))^1−𝑧𝑖}
	H0∶𝜃𝑖𝑟=𝜃𝑖𝑔=𝜃𝑖(𝑟≠𝑔)	HA∶𝜃𝑖𝑟≠𝜃𝑖𝑔(𝑟≠𝑔)
BGG	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖);𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖)	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑟);𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑔)	𝐿(𝑎,𝑎0,𝜈,𝑝)
	𝜃𝑖∼Γ(𝑎0,𝜈)	𝜃𝑖𝑟∼Γ(𝑎0,𝜈);𝜃𝑖𝑔∼Γ(𝑎0,𝜈)
	H0∶𝜃𝑖𝑟=𝜃𝑖𝑔=𝜃𝑖(𝑟≠𝑔)	HA∶𝜃𝑖𝑟≠𝜃𝑖𝑔(𝑟≠𝑔)
	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼TN(𝜂𝑖𝑟,𝜏^2𝑖)	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼TN(𝜂𝑖𝑟,𝜏^2𝑖)
BNGG	𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼TN(𝜂𝑖𝑔,𝜏^2𝑖)	𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼TN(𝜂𝑖𝑔,𝜏^2𝑖)	𝐿(𝜏^21,…,𝜏^2𝑛,𝑎,𝑎0,𝜈,𝑝)
	𝜂𝑖𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖);𝜂𝑖𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖)	𝜂𝑖𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑟);𝜂𝑖𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑔)
	𝜃𝑖∼Γ(𝑎0,𝜈)	𝜃𝑖𝑟∼Γ(𝑎0,𝜈);𝜃𝑖𝑔∼Γ(𝑎0,𝜈)
	H0∶𝜃𝑖𝑟=𝜃𝑖𝑔=𝜃𝑖(𝑟≠𝑔)	HA∶𝜃𝑖𝑟≠𝜃𝑖𝑔(𝑟≠𝑔)
	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼TN(𝜂𝑖𝑟,𝜎^2𝑖𝑟𝑘𝑟+𝜏^2𝑖)	𝑦𝑖𝑟𝑘𝑟∼TN(𝜂𝑖𝑟,𝜎^2𝑖𝑟𝑘𝑟+𝜏^2𝑖)
BNNGG	𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼TN(𝜂𝑖𝑔,𝜎^2𝑖𝑔𝑘𝑔+𝜏^2𝑖)	𝑦𝑖𝑔𝑘𝑔∼TN(𝜂𝑖𝑔,𝜎^2𝑖𝑔𝑘𝑔+𝜏^2𝑖)	𝐿(𝜏^21,…,𝜏^2𝑛,𝑎,𝑎0,𝜈,𝑝)
	𝜂𝑖𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖);𝜂𝑖𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖)	𝜂𝑖𝑟∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑟);𝜂𝑖𝑔∼Γ(𝑎,𝜃𝑖𝑔)
	𝜃𝑖∼Γ(𝑎0,𝜈)	𝜃𝑖𝑟∼Γ(𝑎0,𝜈);𝜃𝑖𝑔∼Γ(𝑎0,𝜈)
	H0∶𝜂𝑖𝑟=𝜂𝑖𝑔=𝜂𝑖(𝑟≠𝑔)	HA∶𝜂𝑖𝑟≠𝜂𝑖𝑔(𝑟≠𝑔)
BLNN	𝑦^′𝑖𝑟𝑘𝑟∼𝑁(𝜂𝑖,𝜏^2𝑖);𝑦^′𝑖𝑔𝑘𝑔∼𝑁(𝜂𝑖,𝜏^2𝑖)	𝑦^′𝑖𝑟𝑘𝑟∼𝑁(𝜂𝑖𝑟,𝜏^2𝑖);𝑦^′𝑖𝑔𝑘𝑔∼𝑁(𝜂𝑖𝑔,𝜏^2𝑖)	𝐿(𝜏^21,…,𝜏^2𝑛,𝜇,𝜑^2,𝑝)
	𝜂𝑖∼𝑁(𝜇,𝜑^2)	𝜂𝑖𝑟∼𝑁(𝜇,𝜑^2);𝜂𝑖𝑔∼𝑁(𝜇,𝜑^2)
BLNNN	H0∶𝜂𝑖𝑟=𝜂𝑖𝑔=𝜂𝑖(𝑟≠𝑔)	HA∶𝜂𝑖𝑟≠𝜂𝑖𝑔(𝑟≠𝑔)
	𝑦^′𝑖𝑟𝑘𝑟∼𝑁(𝜂𝑖,𝜎^′𝑖𝑟𝑘𝑟^2+𝜏^2𝑖)	𝑦^′𝑖𝑟𝑘𝑟∼𝑁(𝜂𝑖𝑟,𝜎^′𝑖𝑟𝑘𝑟^2+𝜏^2𝑖)
	𝑦^′𝑖𝑔𝑘𝑔∼𝑁(𝜂𝑖,𝜎^′𝑖𝑔𝑘𝑔^2+𝜏^2𝑖)	𝑦^′𝑖𝑔𝑘𝑔∼𝑁(𝜂𝑖𝑔,𝜎^′𝑖𝑔𝑘𝑔^2+𝜏^2𝑖)	𝐿(𝜏^21,…,𝜏^2𝑛,𝜇,𝜑^2,𝑝)
	𝜂𝑖∼𝑁(𝜇,𝜑^2)	𝜂𝑖𝑟∼𝑁(𝜇,𝜑^2);𝜂𝑖𝑔∼𝑁(𝜇,𝜑^2)