Parallel Rank of Two Sandpile Models of Signed Integer Partitions

Table 2

Fundamental sequence in 𝑃(𝑛, 𝑑, 𝑟).

Case	Fundamental sequence
Case I	(1,2,…,𝑑−1,𝑑,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…1)
Case II	(2,4,…,2(𝑛−𝑟−1),2(𝑛−𝑟),…,2(𝑛−𝑟),2(𝑛−𝑟)+1,…,𝑑−1,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…1)
Case III	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟−1),2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−1,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…,1)
Case IV	(1,2,…,𝑑−1,𝑑,…,𝑑,𝑑−2,…,𝑑−2𝑟,𝑑−2𝑟−1,…,1)
Case V	(1,2,…,𝑑−1,𝑑,…,𝑑,𝑑−2,…,2𝑟−𝑑,2𝑟−𝑑−1,…,1)
Case VI.1	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…,𝑛−𝑟,…,𝑛−𝑟,; 𝑛−𝑟−1,…,𝑛−𝑑,…,𝑛−𝑑,𝑛−𝑑−1,…,1)
Case VI.2	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟−1),…; …,4𝑛−4𝑟−2𝑑,4𝑛−4𝑟−2𝑑−1,…,𝑛−𝑑,…,𝑛−𝑑,𝑛−𝑑−1,…,1)
Case VI.3	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑,…,𝑑,𝑑−1,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)−1,; 2(𝑑−𝑛+𝑟)−3,…,4𝑟−2𝑛−1,4𝑟−2𝑛−2,…,𝑛−𝑑,…,𝑛−𝑑,𝑛−𝑑−1,…,1)
Case VI.4	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟,…,𝑛−𝑟,…; …,𝑛−𝑟,𝑛−𝑟−1,…,2𝑛−𝑑−2𝑟,2𝑛−𝑑−2𝑟−2,…,2𝑟−𝑑,2𝑟−𝑑−1,…,1)
Case VI.5	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟−2,…; …,𝑛−𝑟,…,𝑛−𝑟,𝑛−𝑟−1,…,2𝑛−𝑑−2𝑟,2𝑛−𝑑−2𝑟−2,…,2𝑟−𝑑,2𝑟−𝑑−1,…,1)
Case VI.6	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟−2,…; …,𝑛−𝑟,…,𝑛−𝑟,𝑛−𝑟−1,…,2𝑛−𝑑−2𝑟,2𝑛−𝑑−2𝑟−2,…,2𝑟−𝑑,2𝑟−𝑑−1,…,1)
Case VII.1	(2,4,…,2(𝑛−𝑟),…,2(𝑛−𝑟),2(𝑛−𝑟)−1,…,2(𝑛−𝑟)−1,2(𝑛−𝑟)−2,; 2(𝑛−𝑟)−4,…,4𝑟−2𝑛,4𝑟−2𝑛−1,…,1)
Case VII.2	(2,4,…,2(𝑛−𝑟),…,2(𝑛−𝑟),2(𝑛−𝑟)−1,…,2(𝑛−𝑟)−1,2(𝑛−𝑟),; 2(𝑛−𝑟)+1,…,𝑟−1,𝑟−1,…,1)
Case VIII.1	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟,…,𝑛−𝑟,; …,𝑛−𝑟,𝑛−𝑟−1,…,2𝑛−2𝑟−𝑑,2𝑛−2𝑟−𝑑−2…,𝑑−2𝑟,𝑑−2𝑟−1,…,1)
Case VIII.2	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟−2,; …,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟−1),…,2(2𝑛−2𝑟−𝑑),2(2𝑛−2𝑟−𝑑)−1,; …,2𝑛−2𝑟−𝑑,2𝑛−2𝑟−𝑑−2…,𝑑−2𝑟,𝑑−2𝑟−1,…,1)
Case VIII.3	(2,4,…,2(𝑑−𝑛+𝑟),2(𝑑−𝑛+𝑟)+1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,…,𝑑−𝑛+2𝑟−1,𝑑−𝑛+2𝑟−2,; …,𝑛−𝑟+1,𝑛−𝑟,…,𝑛−𝑟,𝑛−𝑟−1,…,2𝑛−2𝑟−𝑑,; 2𝑛−2𝑟−𝑑−2…,𝑑−2𝑟,𝑑−2𝑟−1,…,1)