Geometric Pseudospectral Method on SE(3) for Rigid-Body Dynamics with Application to Aircraft

Table 2

Magnus series terms corresponding to the top eight orders rooted trees.

𝑝	𝕋𝑘	𝔽𝑚	∫^𝑡0𝐶𝜏(𝜉1)𝑑𝜉1	𝐼(𝑡)	𝛼(𝜅)
1	𝕋0	𝔽0	∫^𝑡0𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉1	𝐼1(𝑡)	1
3	𝕋1	𝔽2	∫^𝑡0∫^𝜉10𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼2(𝑡)	1/2
4	𝕋2	𝔽3	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼3(𝑡)	1/4
4	𝕋2	𝔽3	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼4(𝑡)	1/12
5	𝕋3	𝔽4	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼5(𝑡)	1/24
5	𝕋3	𝔽4	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼6(𝑡)	1/24
7	𝕋3	𝔽6	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉10𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼7(𝑡)	1/24
5	𝕋3	𝔽4	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼8(𝑡)	1/8
5	𝕋3	𝔽4	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼9(𝑡)	0
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30∫^𝜉40𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉5,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉5𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼10(𝑡)	1/16
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼11(𝑡)	1/48
8	𝕋4	𝔽7	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼12(𝑡)	1/48
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼13(𝑡)	1/48
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼14(𝑡)	0
7	𝕋4	𝔽6	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼15(𝑡)	1/48
7	𝕋4	𝔽6	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼16(𝑡)	1/144
7	𝕋4	𝔽6	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼17(𝑡)	1/48
7	𝕋4	𝔽6	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼18(𝑡)	0
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼19(𝑡)	1/48
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉20∫^𝜉30∫^𝜉30𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉4,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉4𝑑𝜉4𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼20(𝑡)	1/144
8	𝕋4	𝔽7	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼21(𝑡)	0
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉20𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉3,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉3𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼22(𝑡)	0
6	𝕋4	𝔽5	∫^𝑡0∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10∫^𝜉10𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉2,𝑉^𝑏𝑎𝑏𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉2𝑑𝜉1	𝐼23(𝑡)	−1/720