Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 2

Inference rules of the semiexpectation type system.

     𝑛∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑛∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒) 𝑥∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑥∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)

  𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑠∩𝑆₁𝑖_op𝑆₂→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑖_op𝑆₂,𝑠𝑒^′(𝑖^𝑒_op)

  𝑆₁∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)𝑆₂∶(𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑆₁𝑏_op𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪{𝑆₁𝑏_op𝑆₂},𝑠𝑒^′)(𝑏^𝑒_op)

   ∗𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′∗𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑒∩∗𝑆,𝑔→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪∗𝑆,𝑔,𝑠𝑒^′′,𝐴^′=𝑔;𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪{∗𝑆},𝑠𝑒^′′,𝐴^′≠1.(∗^𝑒)

𝑠𝑘𝑖𝑝∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(∅,𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒) 𝑥∶=𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′𝑥∶=𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡∣𝑥∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒^′′)(∶=^𝑒)

 𝑆₁←𝑆₂∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₁∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁)𝑆₂∶(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)𝑆₁←𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑎𝑠₂⧵(𝐴^′∪{𝑆∣𝑆∶𝑝→_𝑚(𝐴_𝑠,_)&𝐴_𝑠∩𝐴^′≠∅}),𝑠𝑒₂)(←^𝑒)

𝑆₁∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)𝑆₂∶(𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑆₁;𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑠𝑒𝑞^𝑒) 𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)𝑆_𝑡∶(𝑝,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑆_𝑓∶(𝑝,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑖𝑓𝑆𝑡ℎ𝑒𝑛𝑆_𝑡𝑒𝑙𝑠𝑒𝑆_𝑓∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑖𝑓^𝑒)

          𝑆₁[𝑆₂/𝑥]∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝜆𝑥⋅𝑆₁)𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑎𝑝𝑝𝑙^𝑒)

       𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑆_𝑡∶(𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒𝑆𝑑𝑜𝑆_𝑡∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑤ℎ𝑙^𝑒)

    𝑓𝑑(𝑛𝑎𝑚𝑒)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑛𝑎𝑚𝑒∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑛𝑎𝑚𝑒^𝑒) 𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝜆𝑥⋅𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑎𝑏𝑠^𝑒)

(𝜆𝑥⋅𝑆^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐𝑥=𝑆𝑖𝑛𝑆^′∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐^𝑒) 𝑛𝑒𝑤_𝑙∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑛𝑒𝑤_𝑙∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)(𝑛𝑒𝑤^𝑒)

       𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡^𝑒)

     𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶𝑝→(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)𝑆₁∶(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠^𝑒)

(𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁,𝑠𝑒^′₁)≤(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁)𝑆∶(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)≤(𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂,𝑠𝑒^′₂)𝑆∶(𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂,𝑠𝑒^′₂)(𝑐𝑠𝑞^𝑒) 𝐷𝑒𝑓𝑠∶∅↷𝑓𝑑𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝐷𝑒𝑓𝑠∶𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)(𝑝𝑟𝑔^𝑒)