Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 3

Inference rules for the frequent statements and dereferences elimination (1).

 𝑛∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑛∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒⇛𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛     𝑥∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑥∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒⇛𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑥

 ∗𝑆∈𝑟𝑠∗𝑆∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)∗𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪(𝑟𝑒∩{∗𝑆,𝑔}))→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪∗𝑆,𝑔,𝑠𝑒^′′,𝐴^′=𝑔;𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪{∗𝑆},𝑠𝑒^′′,𝐴^′⇛((∗≠1.𝑛𝑠,𝑠𝑛∗𝑆))^𝑓1

 ∗𝑆∉𝑟𝑠∗𝑆∈𝑠𝑒^′∗𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠,𝑆^′∗𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑒∩∗𝑆,𝑔→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪∗𝑆,𝑔,𝑠𝑒^′′,𝐴^′=𝑔;𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪{∗𝑆},𝑠𝑒^′′,𝐴^′⇛()≠1.𝑛𝑠;𝑠𝑛∗𝑆∶=∗𝑆^′()∗,𝑠𝑛∗𝑆^𝑓2

∗𝑆∉𝑟𝑠∗𝑆∉𝑠𝑒^′∗𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠,𝑆^′∗𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑒∩∗𝑆,𝑔→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪∗𝑆,𝑔,𝑠𝑒^′′,𝐴^′=𝑔;𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪{∗𝑆},𝑠𝑒^′′,𝐴^′⇛≠1.𝑛𝑠,∗𝑆^′∗^𝑓₃

  𝑆₁𝑖_op𝑆₂𝑆∈𝑟𝑠¹∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠₁,𝑆^′₁𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₂,𝑆^′₂𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑠∩𝑆₁𝑖_𝑜𝑝𝑆₂→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑖_op𝑆₂,𝑠𝑒^′⇛(𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂,𝑠𝑛(𝑆₁𝑖_𝑜𝑝𝑆₂))(𝑖^𝑓_op(1))

𝑆₁𝑖_op𝑆₂∉𝑟𝑠𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠₁,𝑆^′₁𝑆₁𝑖_op𝑆₂∈𝑠𝑒^′𝑆₂∶(𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠₂,𝑆^′₂)𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑠∩𝑆₁𝑖_𝑜𝑝𝑆₂→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑖_op𝑆₂,𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂;𝑠𝑛𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶=𝑆^′₁𝑖_op𝑆^′₂,𝑠𝑛𝑆₁𝑖_op𝑆₂𝑖^𝑓_op(2)

  𝑆₁𝑖_op𝑆₂∉𝑟𝑠𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠₁,𝑆^′₁𝑆₁𝑖_op𝑆₂∉𝑠𝑒^′𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₂,𝑆^′₂𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪𝑟𝑠∩𝑆₁𝑖_op𝑆₂→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑖_op𝑆₂,𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂,𝑆^′₁𝑖_op𝑆^′₂𝑖^𝑓_(3)𝑜𝑝

          𝑠𝑘𝑖𝑝∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(∅,𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑠𝑘𝑖𝑝)

     𝑥∶=𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑠𝑛,𝑆^′𝑥∶=𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′⧵𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡∣𝑥∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆),𝑠𝑒^′′⇛𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠;𝑥∶=𝑆^′∶=^𝑓

     𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴₁,𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁⇛𝑛𝑠₁,𝑆^′₁𝑆₂∶(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)⇛(𝑛𝑠₂,𝑆^′₂)𝑆₁←𝑆₂∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₁←𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑎𝑠₂⧵(𝐴^′∪{𝑆∣𝑆∶𝑝→_𝑚(𝐴_𝑠,---)&𝐴_𝑠∩𝐴^′≠∅}),𝑠𝑒₂)⇛𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂;𝑆^′₁←𝑆^′₂(←^𝑓)

         𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′⇛𝑛𝑠₁,𝑆^′₁𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₂,𝑆^′₂𝑆₁;𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂,𝑆^′₁;𝑆^′₂)(𝑠𝑒𝑞^𝑓)