Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 6

An extension for the semi-expectation type system.

     𝑜⋅𝑣∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑜⋅𝑣∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒 this∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)this∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)

       𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′(𝐶)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪(𝑟𝑠∩{(𝐶)𝑆}))→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪{(𝐶)𝑆},𝑠𝑒^′)

   𝑆₁⋅𝑣∶=𝑆₂∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₁∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)𝑆₁∶𝑝→𝐶𝑠𝑆₂∶(𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝐴₂,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)𝑆₁⋅𝑣∶=𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝐶∈𝐶𝑠∧𝐶⋅𝑣∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒^′)(∶=^𝑒_𝑆⋅𝑣)

𝑜₁∶=𝑜₂⋅𝑓(𝑆)∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆₁,…,𝑆_𝑚=𝑆_𝑓,𝑆_𝑟∣∃𝐶∈𝐶𝑠∧𝐹_𝐶𝑓=𝑝,𝑆_𝑓,𝑆_𝑟𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁𝑜₂∶𝑝→𝐶𝑠𝑆_𝑖∶𝑝_𝑖,𝑟𝑠_𝑖,𝑠𝑒_𝑖→_𝑚𝐴_𝑖+1,𝑝_𝑖+1,𝑟𝑠_𝑖+1,𝑠𝑒_𝑖+1𝑜₁∶=𝑜₂⋅𝑓(𝑆)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠_𝑚+1⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜₁∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒_𝑚+1)(∶=^𝑒_𝑜⋅𝑓)

   𝑜₁∶=𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟⋅𝑓(𝑆)∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)𝑡ℎ𝑖𝑠∶𝑝→𝐶𝑠^′𝑆_𝑖∶(𝑝_𝑖,𝑟𝑠_𝑖,𝑠𝑒_𝑖)→_𝑚(𝐴_𝑖+1,𝑝_𝑖+1,𝑟𝑠_𝑖+1,𝑠𝑒_𝑖+1){𝑆₁,…,𝑆_𝑚}={𝑆_𝑓,𝑆_𝑟∣∃𝐷∈𝐶𝑠^′∧𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟(𝐷,𝑓)=𝐶∧𝐹_𝐶(𝑓)=(𝑝,𝑆_𝑓,𝑆_𝑟)}𝑜₁∶=𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟⋅𝑓(𝑆)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠_𝑚+1⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜₁∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒_𝑚+1)(∶=^𝑒_{𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟})

     𝑜∶=new𝐶∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑜∶=new𝐶∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒)(∶=^𝑒_𝑛𝑒𝑤)