Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 7

An extension for the frequent statements and de-references elimination type system.

𝑜⋅𝑣∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑜⋅𝑣∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒⇛skip,𝑜⋅𝑣  this∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′this∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒⇛(skip,this)

   (𝐶)𝑆∈𝑟𝑠𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′⇛𝑛𝑠,𝑆^′(𝐶)𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪(𝑟𝑠∩{(𝐶)𝑆})→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪{(𝐶)𝑆},𝑠𝑒^′⇛(𝐶)𝑆(𝐶)𝑆𝑛𝑠,𝑛𝑠(())^𝑓1

     (𝐶)𝑆∉𝑠𝑒^′⧵𝑟𝑠𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)(𝐶)𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪(𝑟𝑠∩{(𝐶)𝑆})→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪{(𝐶)𝑆},𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠;𝑛𝑠((𝐶)𝑆)=(𝐶)𝑆^′𝐶)𝑆)(𝐶)𝑆,𝑛𝑠((^𝑓2

   (𝐶)𝑆∉𝑟𝑠∪𝑠𝑒^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′⇛𝑛𝑠,𝑆^′(𝐶)𝑆∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒∪(𝑟𝑠∩{(𝐶)𝑆})→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪{(𝐶)𝑆},𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠,(𝐶)𝑆^′(𝐶)𝑆^𝑓₃

𝑆₁⋅𝑣∶=𝑆₂∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₁∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)⇛(𝑛𝑠₁,𝑆^′₁)𝑆₁∶𝑝→𝐶𝑠𝑆₂∶(𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)→_𝑚(𝐴₂,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠₂,𝑆^′₂)𝑆₁⋅𝑣∶=𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′⧵𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝐶∈𝐶𝑠∧𝐶⋅𝑣∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆),𝑠𝑒^′⇛𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂,𝑆^′₁⋅𝑣∶=𝑆^′₂∶=^𝑓_𝑆⋅𝑣

    𝑜₁∶=𝑜₂⋅𝑓(𝑆)∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑜₂∶𝑝→𝐶𝑠𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑆₁,…,𝑆_𝑚={𝑆_𝑓,𝑆_𝑟∣∃𝐶∈𝐶𝑠∧𝐹_𝐶𝑓=(𝑝,𝑆_𝑓,𝑆_𝑟𝑆)}_𝑖∶𝑝_𝑖,𝑟𝑠_𝑖,𝑠𝑒_𝑖→_𝑚𝐴_𝑖+1,𝑝_𝑖+1,𝑟𝑠_𝑖+1,𝑠𝑒_𝑖+1⇛(𝑛𝑠_𝑖,𝑆^′_𝑖)𝑜₁∶=𝑜₂⋅𝑓(𝑆)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠_𝑚+1⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜₁∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒_𝑚+1)⇛(𝑛𝑠;𝑛𝑠₁;…;𝑛𝑠_𝑚,𝑜₁∶=𝑜₂⋅𝑓(𝑆^′))∶=^𝑓_𝑜⋅𝑓

 𝑜₁∶=𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟⋅𝑓(𝑆)∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠₁,𝑠𝑒₁)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑡ℎ𝑖𝑠∶𝑝→𝐶𝑠^′𝑆_𝑖∶(𝑝_𝑖,𝑟𝑠_𝑖,𝑠𝑒_𝑖)→_𝑚(𝐴_𝑖+1,𝑝_𝑖+1,𝑟𝑠_𝑖+1,𝑠𝑒_𝑖+1)⇛(𝑛𝑠_𝑖,𝑆^′_𝑖){𝑆₁,…,𝑆_𝑚}={𝑆_𝑓,𝑆_𝑟∣∃𝐷∈𝐶𝑠^′∧𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟(𝐷,𝑓)=𝐶∧𝐹_𝐶(𝑓)=(𝑝,𝑆_𝑓,𝑆_𝑟)}𝑜₁∶=𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟⋅𝑓(𝑆)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠_𝑚+1⧵{𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜₁∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)},𝑠𝑒_𝑚+1)⇛(𝑛𝑠;𝑛𝑠₁;…;𝑛𝑠_𝑚,𝑜₁∶=𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟⋅𝑓(𝑆^′))∶=^𝑓_{𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟}

𝑜∶=new𝐶∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑜∶=new𝐶∶𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠⧵𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡𝑠∣𝑜∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆),𝑠𝑒⇛𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑜∶=new𝐶∶=^𝑓_𝑛𝑒𝑤