We will investigate the nonexistence of positive solutions for the following nonlinear parabolic partial differential equation: <mml:math alttext="$\partial u/\partial t=\mathcal{L}u+V(w)u^{p-1}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>&#8706;</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo>&#8706;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>&#8466;</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> in <mml:math alttext="$\Omega \times (0, T)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#937;</mml:mi><mml:mo>&#215;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$1&#60;p&#60;2$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&#60;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&#60;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>, <mml:math alttext="$u(w,0)=u_{0}(w)\geq 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#8805;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> in <mml:math alttext="$\Omega$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#937;</mml:mi></mml:math>, <mml:math alttext="$u(w,t)=0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> on <mml:math alttext="$\partial\Omega\times(0, T)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>&#8706;</mml:mo><mml:mi>&#937;</mml:mi><mml:mo>&#215;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> where <mml:math alttext="$\mathcal{L}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#8466;</mml:mi></mml:math> is the subelliptic <mml:math alttext="$p$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>-Laplacian and <mml:math alttext="$V\in L_{loc}^1(\Omega)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>&#8712;</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#937;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>.

Abstract and Applied Analysis

Cauchy-Dirichlet problem for the nonlinear degenerate parabolic equations

Abstract

Copyright