Some General New Einstein Walker Manifolds

Table 3

Reduced systems and their group invariant solutions.

𝑖	Reduced system	Group invariant solutions
(1)	ℎ𝑡𝑡=0; 𝑘𝑡𝑡=0; 𝑓𝑡ℎ𝑡−𝑘^2𝑡+ℎ𝑓𝑡𝑡=0; ℎ𝑘𝑡𝑡=0	𝑓=𝑓(𝑡)	𝑟𝑓=^1𝑟3−𝑟4𝑟^25𝑟^23ln(𝑟3𝑡+𝑟4𝑟)+^25𝑡𝑟3+𝑟2
		ℎ=0	ℎ=𝑟3𝑡+𝑟4
		𝑘=𝑟1	𝑘=𝑟5𝑡+𝑟6
(2)	𝑓𝑥𝑥=0; 𝑘𝑥𝑥=0; 𝑓𝑥ℎ𝑥−𝑘^2𝑥+𝑓ℎ𝑥𝑥=0; 𝑘𝑓𝑥𝑥−𝑓𝑘𝑥𝑥=0	𝑓=0	𝑓=𝑟3𝑥+𝑟4
		ℎ=ℎ(𝑥)	𝑟ℎ=^1𝑟3−𝑟4𝑟^25𝑟^23ln(𝑟3𝑥+𝑟4𝑟)+^25𝑥𝑟3+𝑟2
		𝑘=𝑟1	𝑘=𝑟5𝑥+𝑟6
(3)	𝑓𝑥𝑥−2ℎ=0; 2𝑘𝑥𝑘−𝑘𝑓𝑥𝑥+𝑓𝑘𝑥𝑥=0; 2ℎ𝑥+𝑘𝑥𝑥=0; 𝑓𝑥𝑘−𝑘^2−𝑓𝑘𝑥=0; 𝑘^2𝑥−𝑓𝑥ℎ𝑥−3ℎ𝑥𝑘−ℎ𝑘𝑥−𝑓ℎ𝑥𝑥=0	𝑘=𝑟2𝑥+𝑟3	𝑘=128−𝑟13𝑥+𝑟2^2+𝑟3𝑥+𝑟4
		𝑓=𝑘(𝑥+𝑟1)	𝑓=−4𝑘𝑘𝑥𝑥𝑘𝑥𝑥𝑥
		ℎ=𝑟2	𝑘ℎ=^𝑥𝑘𝑥𝑥𝑥−2𝑘^2𝑥𝑥𝑘𝑥𝑥𝑥
(4)	ℎ𝑡𝑡−𝑓=0,  ℎ𝑡+𝑘=0,  𝑓𝑡+𝑘𝑡𝑡=0; 𝑓𝑡ℎ𝑡+𝑓𝑡𝑘−𝑘^2𝑡+ℎ𝑓𝑡𝑡=0; ℎ𝑘𝑡𝑡−𝑓𝑡ℎ+2𝑘𝑘𝑡=0; 2𝑓ℎ−2ℎ𝑘𝑡+3ℎ𝑡𝑘−𝑘^2=0	𝑘=0	𝑘=𝑟2𝑒^𝑟1𝑡
		ℎ=𝑟1	𝑟ℎ=−^2𝑟1𝑒^𝑟1𝑡
		𝑓=0	𝑓=−𝑟1𝑟2𝑒^𝑟1𝑡
(5)	𝑓𝑥𝑥−ℎ=0,  ℎ𝑥+𝑘𝑥𝑥=0,  𝑓𝑥+𝑘=0; 2ℎ𝑓−2𝑓𝑘𝑥+3𝑓𝑥𝑘−𝑘^2=0; 𝑓ℎ𝑥−2𝑘𝑥𝑘+𝑘𝑓𝑥𝑥−𝑓𝑘𝑥𝑥−ℎ𝑘=0; ℎ𝑥𝑓𝑥+ℎ𝑥𝑘−𝑘^2𝑥+𝑓ℎ𝑥𝑥=0	𝑘=0	𝑘=𝑟2𝑒^𝑟1𝑥
		𝑓=𝑟1	𝑟𝑓=−^2𝑟1𝑒^𝑟1𝑥
		ℎ=0	ℎ=−𝑟1𝑟2𝑒^𝑟1𝑥
(6)	𝑓𝑥𝑥−6ℎ=0,  𝑓𝑥+2𝑘=0; 3𝑓𝑘𝑥−4𝑓𝑥𝑘−3𝑓ℎ+4𝑘^2=0; 3ℎ𝑥+𝑘𝑥𝑥=0; 4𝑘𝑥𝑘−𝑓ℎ𝑥−𝑘𝑓𝑥𝑥+𝑓𝑘𝑥𝑥+2ℎ𝑘=0; 𝑓𝑥ℎ𝑥+4ℎ𝑥𝑘+ℎ𝑘𝑥−𝑘^2𝑥+𝑓ℎ𝑥𝑥=0	𝑘=0	𝑘=−27𝑟1𝑥+𝑟2^3
		ℎ=0	1ℎ=−3𝑘𝑥
		𝑓=𝑟1	𝑓=−3𝑘^2𝑘𝑥

where 𝑓^′,… are derivatives with respect to w and 𝑟_𝑖’s are arbitrary constants.