Fast Parallel Molecular Algorithms for DNA-Based Computation: Solving the Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem over 𝐺𝐹(2^𝑛)

Algorithm 3

Procedure SimilarDiv 𝑛.

(1) For (𝑇₀,𝑛,𝑝,𝑞) to 𝑗=1

 (1a) ParallelComparator 𝑛−1

 (1b) Append (𝑇₀,𝑝,𝑝+𝑛−1,𝑞+(𝑗−1)(𝑛+2),𝑞+(𝑗−1)(𝑛+2)+𝑗,𝑇₁,𝑇₂) and Append (𝑇₁,𝑥^{0𝑞+𝑛+1+(𝑗−1)(𝑛+2)})

 (1c) For (𝑇₂,𝑥^{1𝑞+𝑛+1+(𝑗−1)(𝑛+2)}) to 𝑘=0

  (1c1) 𝑛 and 𝑇₃=+(𝑇₁,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)(𝑗−1)+𝑘})

  (1c2) Append 𝑇₄=−(𝑇₁,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)(𝑗−1)+𝑘}) and Append (𝑇₃,𝑥^{1𝑞+𝑗(𝑛+2)+𝑘})

  (1c3) (𝑇₄,𝑥^{0𝑞+𝑗(𝑛+2)+𝑘})

 EndFor

 (1d) ParallelAdder 𝑇₁=∪(𝑇₃,𝑇₄)

 (1e) For (𝑇₂,𝑗+1,𝑞+(𝑗−1)(𝑛+2),𝑝+𝑛−𝑗−1,𝑞+(𝑛+2)𝑗) down to 1

  (1e1) 𝑘=𝑛−𝑗 and 𝑇₃=+(𝑇₂,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)𝑗−𝑘−1})

  (1e2) Append 𝑇₄=−(𝑇₂,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)𝑗−𝑘−1}) and Append (𝑇₃,𝑥^{1𝑞+(𝑗+1)(𝑛+2)−𝑘−1})

  (1e3) (𝑇₄,𝑥^{0𝑞+(𝑗+1)(𝑛+2)−𝑘−1})

 EndFor

 (1f) 𝑇₂=∪(𝑇₃,𝑇₄)

EndFor

(2) ParallelComparator 𝑇₀=∪(𝑇₁,𝑇₂)

(3) Append (𝑇₀,𝑝,𝑝+𝑛−1,𝑞+(𝑛+2)(𝑛−1)+1,𝑞+(𝑛+2)(𝑛−1)+𝑛,𝑇₁,𝑇₂) and Append (𝑇₁,𝑥^{0𝑞+(𝑛+2)𝑛−1})

(4) For (𝑇₂,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)𝑛−1}) to 𝑘=0

 (4a) 𝑛 and 𝑇₃=+(𝑇₁,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)(𝑛−1)+𝑘})

 (4b) Append 𝑇₄=−(𝑇₁,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)(𝑛−1)+𝑘}) and Append (𝑇₃,𝑥^{1𝑞+(𝑛+2)𝑛+𝑘})

 (4c) (𝑇₄,𝑥^{0𝑞+(𝑛+2)𝑛+𝑘})

EndFor

(5) Append 𝑇₁=∪(𝑇₃,𝑇₄)

(6) ParallelAdder (𝑇₂,𝑥^{0𝑞+(𝑛+2)𝑛})

(7) (𝑇₂,𝑛,𝑞+(𝑛+2)(𝑛−1)+1,𝑝,𝑞+(𝑛+2)𝑛+1)

EndProcedure