We first obtain sufficiency conditions for the oscillation of all   solutions of linear partial difference equation <mml:math display="block" alttext="$$aA_{m+1,n+1} + bA_{m+1,n} + cA_{m,n+1} - dA_{m,n} + P_{m,n} A_{m-{k},n-{1} = 0$$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math>. Next, we establish a linearized oscillation result for the nonlinear partial difference equation <mml:math display="block" alttext="$$A_{m + 1,n + 1}  + A_{m + 1,n}  + A_{m,n + 1} - A_{m,n} + P_{m,n} f(A_{m -k,n - l} ) = 0$$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>&#8201;</mml:mtext><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>l</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math>.

Discrete Dynamics in Nature and Society

Oscillation of certain partial difference equations

Abstract

Copyright