We show in this paper that <mml:math alttext="$\left\| {\Delta u} \right\| = \left\| {u_t } \right\|$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is bounded <mml:math alttext="$\forall t \leqslant T^{\left( 0 \right)}  \lt T$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> if one imposes on <mml:math alttext="$u$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> (solution of the backward heat equation) the condition <mml:math alttext="$\left\| {u\left( {x,t} \right)} \right\| \leqslant M$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. A Hölder type of inequality is also given if one supposes <mml:math alttext="$\left\| {u_t \left( {x,T} \right)} \right\| \leqslant K$" id="E6" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:math>.

On the backward heat problem: evaluation of the norm of <mml:math alttext="$\frac{{\partial u}} {{\partial t}}$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math>

On the backward heat problem: evaluation of the norm of <svg style="vertical-align:-9.81448pt" height="35.537498" version="1.1" viewBox="0 0 20.65 35.537498" width="20.65" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,1.562,12.162)"><path id="x1D715" d="M471 379q0 -56 -17 -126t-47 -124q-80 -141 -227 -141q-81 0 -119 46t-38 114q0 92 45 161.5t108 101.5q73 37 137 37q45 0 80 -33v27q0 83 -21 133q-38 90 -138 90q-68 0 -123 -31q-12 0 -26.5 18.5t-14.5 31.5q52 28 138 28q139 0 219 -134q44 -74 44 -199zM382 335
q0 22 -4.5 33t-18.5 20q-35 21 -79 21q-23 0 -57 -14q-36 -15 -74.5 -75t-38.5 -156q0 -58 23 -97t67 -39q17 0 38 7q50 15 97 93t47 207z"/></g><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,9.96,12.162)"><path id="x1D462" d="M515 96q-37 -44 -84.5 -76t-71.5 -32q-12 0 -18 7t-6 34t10 75l19 89h-2q-87 -113 -181 -176q-43 -29 -83 -29q-46 0 -46 63q0 31 9 67l52 222q7 36 -1 36q-10 0 -76 -50l-13 24q47 45 92 71.5t67 26.5q18 0 21 -16.5t-8 -65.5l-56 -242q-16 -67 13 -67q41 0 114 74
t114 146l32 145l74 26h11q-52 -199 -80 -347q-8 -39 6 -39q7 0 32 17.5t47 39.5z"/></g><g transform="matrix(1.25,0,0,-1.25,90,90)"><path d="m -70.75,56.87 14.03,0" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.68000001;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:10;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"/></g><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,3.225,35.262)"><use xlink:href="#x1D715"/></g><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,11.622,35.262)"><path id="x1D461" d="M324 430l-26 -36l-112 -4l-55 -265q-13 -66 7 -66q13 0 44.5 20t50.5 40l17 -24q-38 -40 -85.5 -73.5t-87.5 -33.5q-50 0 -21 138l55 262h-80l-2 8l25 34h66l25 99l78 63l10 -9l-37 -153h128z"/></g></svg>

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

On the backward heat problem: evaluation of the norm of ∂u∂t

Abstract

Copyright