It is known that if <mml:math alttext="$\left\{ {W\left( t \right),0 \leqslant t \leqslant 1} \right\}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#8201;</mml:mi><mml:mi>&#8201;</mml:mi><mml:mi>&#8201;</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is a standard Brownian motion in <mml:math alttext="$\mathbb{R}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#8477;</mml:mi></mml:math> then <mml:math alttext="$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^{2n} {\left| {W\left( {{i \mathord{\left/  {\vphantom {i {2^n }}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} {2^n }}} \right) - W\left( {{{\left( {i - 1} \right)} \mathord{\left/  {\vphantom {{\left( {i - 1} \right)} {2^n }}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} {2^n }}} \right)} \right|^2  = 1} $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8594;</mml:mo><mml:mi>&#8734;</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover><mml:mo>&#8721;</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> almost surely. We generalize this celebrated theorem of Levy to Brownian motion in real separable Banach spaces.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Square variation of Brownian paths in Banach spaces

Abstract

Copyright