Let <mml:math alttext="$E$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math> denote the class of functions <mml:math alttext="$f\left( z \right)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> analytic in the unit disc <mml:math alttext="$D$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math>, normalized so that <mml:math alttext="$f\left( 0 \right) = 0 = f'\left( 0 \right) - 1$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>, such that each <mml:math alttext="$f^{\left( k \right)} \left( z \right)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$k \geqslant 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>&#8805;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is univalent in <mml:math alttext="$D$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math>. In this paper we establish conditions for some functions to belong to class <mml:math alttext="$E$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Note on the zeros of functions with univalent derivatives

Abstract

Copyright