In this note, we show when all solutions to the nonlinear differential equation <mml:math alttext="$x'' + c\left( t \right)f\left( x \right)g\left( {x'} \right)x' + a\left( {t,x} \right) = 0$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#x2033;</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#x2032;</mml:mo></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#x2032;</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> are bounded. Furthermore, the solutions are either oscillatory or monotonic and asymptotically stable.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Properties of solutions to a second order nonlinear differential equation

Abstract

Copyright