In this paper we study the existence result of classical solutions for the quasilinear equation  <mml:math alttext="$u\sb{tt}-\Delta u-M(\int\sb \Omega\vert\nabla u\vert\sp 2dx)\Delta u\sb{tt}=f$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:munder><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mi>&#x3A9;</mml:mi></mml:munder><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>&#x2207;</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, with initial data <mml:math alttext="$u(0)=u\sb 0$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math>, <mml:math alttext="$u\sb t(0)=u\sb 1$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math> and homogeneous boundary conditions.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Remarks on quasilinear evolutions equations

Abstract

Copyright