In this paper we have evaluated the integrals<mml:math display="block" alttext="$\int_0^\infty  {x^{n - 1} \ln x\exp \left( { - ax - bx^{ - 1} } \right)} dx$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>&#8747;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>&#8734;</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>ln</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math display="block" alttext="$\int_0^\infty  {x^{n - 2} } \left( {ax^2  - b} \right)\left( {\ln x} \right)^2 \exp \left( { - ax - bx^{ - 1} } \right)dx$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>&#8747;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>&#8734;</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math>for all <mml:math alttext="$n = 1,2,3, \ldots $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. Some applications of the results are discussed and an open problem is posed.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Certain integrals involving logarithmic and exponential functions

Abstract

Copyright