We establish a <mml:math alttext="$q$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-analogue of the congruence
<mml:math display="block" alttext="\[ \left( \begin{gathered}   pa \hfill \\   pb \hfill \\  \end{gathered}  \right) \equiv \left( \begin{gathered}   a \hfill \\   b \hfill \\  \end{gathered}  \right)\left( {\bmod p^2 } \right) \]" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#8801;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>a</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>b</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>&#8201;&#8201;&#8201;(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>mod</mml:mo><mml:msup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>
where <mml:math alttext="$p$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> is a prime and <mml:math alttext="$a$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> and <mml:math alttext="$b$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> are positive integers.

<mml:math alttext="$q$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-Analogue of a binomial coefficient congruence


<svg style="vertical-align:-3.50804pt" height="12.1125" version="1.1" viewBox="0 0 8.4750004 12.1125" width="8.4750004" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,.062,7.675)"><path id="x1D45E" d="M474 429q-19 -69 -47 -222l-65 -347q-8 -49 0 -60t49 -16l26 -3l-4 -26l-246 -12l4 25l17 3q37 6 50 20.5t23 60.5l67 321h-2q-65 -79 -150 -138q-69 -47 -104 -47q-28 0 -48.5 32t-20.5 81q0 78 35 148t90 117q67 57 161 77q23 5 58 5q43 0 90 -15zM387 387&#xA;q-30 16 -75 16q-58 0 -92 -27q-49 -39 -78.5 -112t-29.5 -136q0 -34 8.5 -52.5t21.5 -18.5q40 0 109.5 63.5t103.5 115.5q16 53 32 151z" /></g></svg>-Analogue of a binomial coefficient congruence

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

q-Analogue of a binomial coefficient congruence

Abstract

Copyright