We consider a mapping <mml:math alttext="$S$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math> of the form
<mml:math display="block" alttext="$$ S = \alpha_{0} I + \alpha_{1} T_{1} + \alpha_{2} T_{2} + \cdots + \alpha_{k} T_{k} $$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>&#x22EF;</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:math>,
where <mml:math alttext="$\alpha_{i} &#x2265; 0$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#x2265;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, <mml:math alttext="$\alpha_{0} &#x3C; 0$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&#x3E;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, <mml:math alttext="$\alpha_{1} &#x3C;  0$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&#x3E;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and
<mml:math alttext="$\sum_{i = 0}^k \alpha_i = 1$" id="E6" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mo>&#x2211;</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>. We show that the Picard iterates of
<mml:math alttext="$S$" id="E7" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math> converge to a common fixed point of <mml:math alttext="$T_{i} (i = 1$" id="E8" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>,<mml:math alttext="$2$" id="E9" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>,<mml:math alttext="$\ldots$" id="E10" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>&#x2026;</mml:mo></mml:math>,<mml:math alttext="$k)$" id="E11" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>in a Banach space when <mml:math alttext="$T_{i}(i = 1$" id="E12" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>,<mml:math alttext="$2$" id="E13" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>,<mml:math alttext="$\ldots$" id="E14" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>&#x2026;</mml:mo></mml:math>,<mml:math alttext="$k)$" id="E15" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> are
nonexpansive.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Approximating fixed points of nonexpansive mappings

Abstract

Copyright