Let <mml:math alttext="$\{X_ni\}$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> be an array of rowwise independent <mml:math alttext="$B$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math>-valued
random elements and <mml:math alttext="$\{a_n\}$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> constants such that
<mml:math alttext="$0 \deg a_n \uparrow \infty$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>↑</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. Under some moment conditions for the array,
it is shown that <mml:math alttext="$\sum_{i = 1}^{n}X_{ni}/a_n$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> converges to <mml:math alttext="$0$" id="E6" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> completely if and only if <mml:math alttext="$\sum_{i = 1}^{n}X_{ni}/a_n$" id="E7" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> converges to
<mml:math alttext="$0$" id="E8" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> in probability.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Complete convergence for sums of arrays of random elements

Abstract

Copyright