We show the existence and uniqueness of classical solutions of the nonautonomous second-order equation: <mml:math alttext="$u''(t) = A(t)u'(t) + B(t)u(t) + f(t)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&#8243;</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$0 \le t \le T$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math>; <mml:math alttext="$u(0) = x_0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math>, <mml:math alttext="$u'(0) = x_1$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math> on a Banach space  by means of operator matrix method and apply to Volterra integrodifferential equations.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

On nonautonomous second-order differential equations on Banach space

Abstract

Copyright