We investigate the following problem: for a given <mml:math alttext="$A\geq 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>&#8805;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, find
the infimum of the set of <mml:math alttext="$B\geq 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>&#8805;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> such that the inequality
<mml:math alttext="$\|x^{(k)}\|_2^2\leq A\| x^{(r)}\|_2^2+B\|x\|_2^2$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>&#8214;</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>&#8214;</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>&#8214;</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>&#8214;</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>&#8214;</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#8214;</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math>, for <mml:math alttext="$k, r\in {\mathbb{N}}\cup\{0\}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&#8712;</mml:mo><mml:mi>&#8469;</mml:mi><mml:mo>&#8746;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$0\leq k&#60;r$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>&#60;</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, holds for all sufficiently
smooth functions.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Some exact inequalities of Hardy-Littlewood-Polya type for periodic functions

Abstract

Copyright