We consider the nonlinear neutral functional differential equation <mml:math alttext="$[r(t)[x(t)+\int_{a}^{b}p(t, \mu) x(\tau(t,\mu))d\mu]^{(n-1)}]' +\delta\int_{c}^{d}q(t,\xi)f(x(\sigma(t,\xi)))d\xi=0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>&#8747;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#956;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>&#964;</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#956;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>&#956;</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>&#948;</mml:mi><mml:msubsup><mml:mo>&#8747;</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#958;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>&#963;</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#958;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>&#958;</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> with continuous arguments. We will develop oscillatory and asymptotic properties of the solutions.

Oscillation properties of nonlinear neutral differential equations of <mml:math alttext="$n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>th order

Oscillation properties of nonlinear neutral differential equations of <svg style="vertical-align:-0.1638pt" height="7.9499998" version="1.1" viewBox="0 0 8.6625004 7.9499998" width="8.6625004" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,.062,7.675)"><path id="x1D45B" d="M495 86q-46 -47 -87 -72.5t-63 -25.5q-43 0 -16 107l49 210q7 34 8 50.5t-3 21t-13 4.5q-35 0 -109.5 -72.5t-115.5 -140.5q-21 -75 -38 -159q-50 -10 -76 -21l-6 8l84 340q8 35 -4 35q-17 0 -67 -46l-15 26q44 44 85.5 70.5t64.5 26.5q35 0 10 -103l-24 -98h2&#xA;q42 56 97 103.5t96 71.5q46 26 74 26q9 0 16 -2.5t14 -11.5t9.5 -24.5t-1 -44t-13.5 -68.5q-30 -117 -47 -200q-4 -19 -3.5 -25t6.5 -6q21 0 70 48z" /></g></svg>th order

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Oscillation properties of nonlinear neutral differential equations of nth order

Abstract

Copyright