Optimized Steffensen-Type Methods with Eighth-Order Convergence and High Efficiency Index

Table 2

Results of convergence under fair circumstances for different derivative-free methods.

𝑓	Guess		(3.1)	(3.3)	(3.4)	(3.2)	(4.10)	(4.16)
𝑓1		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	0.3	|𝑓|	0.7𝑒−104	0.3𝑒−143	0.6𝑒−269	0.1𝑒−210	0.3𝑒−187	0.1𝑒−1190
	−0.1	|𝑓|	0.3𝑒−166	0.3𝑒−216	0.1𝑒−412	0.4𝑒−318	0.2𝑒−230	0.2𝑒−1186
	0.5	|𝑓|	0.1𝑒−89	0.1𝑒−107	0.5𝑒−209	0.7𝑒−167	0.1𝑒−150	0.4𝑒−572
	0.2	|𝑓|	0.4𝑒−132	0.5𝑒−177	0.8𝑒−334	0.1𝑒−267	0.3𝑒−239	0.2𝑒−1183
𝑓2		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	−0.3	|𝑓|	0.2𝑒−6	0.3𝑒−143	0.7𝑒−66	0.3𝑒−53	0.7𝑒−75	0.2𝑒−160
	−0.6	|𝑓|	0.7𝑒−516	0.1𝑒−237	0.1𝑒−413	0.1𝑒−398	0.1𝑒−392	0.8𝑒−485
	−0.8	|𝑓|	0.5𝑒−351	0.4𝑒−224	0.7𝑒−301	0.1𝑒−240	0.1𝑒−152	0.2𝑒−654
	−0.4	|𝑓|	0.6𝑒−156	0.1𝑒−216	0.4𝑒−185	0.1𝑒−178	0.5𝑒−190	0.1𝑒−246
𝑓3		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	1.9	|𝑓|	0.4𝑒−104	0.8𝑒−124	0.1𝑒−94	F.	0.6𝑒−121	0.1𝑒−144
	2	|𝑓|	0.8𝑒−125	0.1𝑒−110	0.1𝑒−60	F.	0.6𝑒−65	0.5𝑒−135
	2.1	|𝑓|	F.	0.1𝑒−100	0.3𝑒−35	F.	0.5𝑒−53	0.2𝑒−108
	1.6	|𝑓|	0.1𝑒−298	0.1𝑒−203	0.4𝑒−350	0.4𝑒−258	0.1𝑒−334	0.7𝑒−243
𝑓4		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	−1.5	|𝑓|	0.3𝑒−62	0.7𝑒−128	0.1𝑒−125	0.1𝑒−2	0.7𝑒−98	0.1𝑒−93
	−1.2	|𝑓|	0.6𝑒−387	0.1𝑒−233	0.4𝑒−441	0.6𝑒−359	0.6𝑒−418	0.3𝑒−284
	−1.6	|𝑓|	0.7𝑒−109	0.5𝑒−111	0.4𝑒−53	F.	0.3𝑒−52	0.3𝑒−53
	−1	|𝑓|	0.1𝑒−319	0.2𝑒−330	0.1𝑒−696	0.4𝑒−618	0.1𝑒−670	0.8𝑒−415
𝑓5		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	0.3	|𝑓|	0.2𝑒−103	0.7𝑒−148	0.1𝑒−300	0.1𝑒−205	0.3𝑒−55	0.1𝑒−325
	0.2	|𝑓|	0.3𝑒−193	0.4𝑒−240	0.5𝑒−478	0.7𝑒−391	0.1𝑒−311	0.7𝑒−578
	0.1	|𝑓|	0.2𝑒−422	0.3𝑒−471	0.5𝑒−933	0.1𝑒−855	0.2𝑒−801	0.1𝑒−1146
	0.15	|𝑓|	0.3𝑒−289	0.4𝑒−337	0.2𝑒−668	0.5𝑒−586	0.5𝑒−524	0.1𝑒−814
𝑓6		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	−3	|𝑓|	0.5𝑒−222	0.1𝑒−229	0.4𝑒−275	0.7𝑒−268	0.3𝑒−275	0.1𝑒−169
	−2.5	|𝑓|	0.2𝑒−337	0.3𝑒−263	0.4𝑒−439	0.1𝑒−423	0.4𝑒−417	0.5𝑒−412
	−3.2	|𝑓|	0.1𝑒−174	0.1𝑒−185	0.5𝑒−218	0.2𝑒−211	0.6𝑒−218	0.5𝑒−106
	−2.1	|𝑓|	0.5𝑒−420	0.6𝑒−390	0.1𝑒−672	0.2𝑒−639	0.1𝑒−635	0.3𝑒−547
𝑓7		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	3	|𝑓|	0.2𝑒−263	0.2𝑒−232	0.1𝑒−395	0.8𝑒−429	0.4𝑒−431	0.1𝑒−220
	3.1	|𝑓|	0.3𝑒−246	0.1𝑒−227	0.2𝑒−362	0.2𝑒−412	0.2𝑒−386	0.6𝑒−170
	1.4	|𝑓|	0.3𝑒−208	0.3𝑒−273	0.4𝑒−276	0.1𝑒−320	0.2𝑒−386	0.2𝑒−131
	1.5	|𝑓|	0.1𝑒−222	0.4𝑒−301	0.4𝑒−349	0.1𝑒−295	0.1𝑒−384	0.1𝑒−309
𝑓8		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	0.9	|𝑓|	0.7𝑒−307	0.6𝑒−263	0.6𝑒−270	0.1𝑒−390	0.1𝑒−285	0.1𝑒−632
	1.2	|𝑓|	0.1𝑒−93	0.3𝑒−231	0.1𝑒−76	0.1𝑒−184	0.6𝑒−84	0.4𝑒−451
	1	|𝑓|	0.1𝑒−179	0.1𝑒−234	0.2𝑒−114	0.3𝑒−299	0.3𝑒−161	0.7𝑒−549
	0.3	|𝑓|	0.2𝑒−487	0.6𝑒−275	0.1𝑒−461	0.3𝑒−466	0.5𝑒−527	0.5𝑒−898
𝑓9		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	0.9	|𝑓|	0.3𝑒−423	0.2𝑒−380	0.3𝑒−684	0.8𝑒−608	0.7𝑒−610	0.2𝑒−1038
	1	|𝑓|	0.2𝑒−285	0.4𝑒−276	0.1𝑒−519	0.1𝑒−879	0.6𝑒−359	0.4𝑒−878
	0.4	|𝑓|	0.3𝑒−84	0.5𝑒−168	0.5𝑒−234	0.1𝑒−144	0.6𝑒−28	0.6𝑒−612
	0.6	|𝑓|	0.1𝑒−340	0.4𝑒−277	0.7𝑒−479	0.7𝑒−629	0.1𝑒−629	0.1𝑒−804
𝑓10		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	−0.3	|𝑓|	0.1𝑒−539	0.4𝑒−305	0.4𝑒−543	0.3𝑒−488	0.5𝑒−451	0.5𝑒−1046
	−0.6	|𝑓|	0.1𝑒−215	0.1𝑒−146	0.4𝑒−235	0.2𝑒−154	0.6𝑒−50	0.1𝑒−465
	−0.9	|𝑓|	0.1𝑒−5	0.9𝑒−64	0.4𝑒−77	0.1𝑒−23	0.1𝑒−9	0.2𝑒−159
	0.3	|𝑓|	0.3𝑒−313	0.9𝑒−209	0.9𝑒−358	0.5𝑒−314	0.2𝑒−277	0.1𝑒−724
𝑓11		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	0.7	|𝑓|	0.6𝑒−17	0.1𝑒−256	0.2𝑒−252	0.3𝑒−249	0.1𝑒−59	0.2𝑒−378
	0.5	|𝑓|	0.3𝑒−263	0.1𝑒−326	0.2𝑒−403	0.1𝑒−430	0.5𝑒−498	0.3𝑒−164
	0.8	|𝑓|	F.	0.5𝑒−245	0.2𝑒−154	0.1𝑒−194	0.2𝑒−6	0.1𝑒−43
	0.4	|𝑓|	0.1𝑒−112	0.1𝑒−261	0.1𝑒−229	0.3𝑒−244	0.7𝑒−102	0.7𝑒−22
𝑓12		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	2	|𝑓|	F.	0.1𝑒−122	0.5𝑒−260	0.9𝑒−257	0.1𝑒−260	0.6𝑒−120
	0.6	|𝑓|	0.1𝑒−453	0.3𝑒−234	0.4𝑒−262	0.7𝑒−231	0.9𝑒−253	0.1𝑒−338
	1	|𝑓|	0.1𝑒−322	0.2𝑒−183	0.5𝑒−192	0.1𝑒−160	0.1𝑒−187	0.3𝑒−330
	0.5	|𝑓|	0.1𝑒−567	0.5𝑒−263	0.6𝑒−390	0.8𝑒−364	0.1𝑒−382	0.2𝑒−380
𝑓13		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	0.6	|𝑓|	0.2𝑒−358	0.4𝑒−259	0.1𝑒−628	0.5𝑒−565	0.4𝑒−605	0.6𝑒−283
	0.55	|𝑓|	0.2𝑒−431	0.3𝑒−343	0.3𝑒−774	0.1𝑒−711	0.1𝑒−348	0.9𝑒−602
	0.3	|𝑓|	0.1𝑒−269	0.2𝑒−232	0.4𝑒−447	0.6𝑒−384	0.2𝑒−417	0.5𝑒−361
	0.4	|𝑓|	0.6𝑒−352	0.7𝑒−295	0.6𝑒−614	0.3𝑒−552	0.2𝑒−585	0.9𝑒−440
𝑓14		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	11.5	|𝑓|	0.1𝑒−178	0.9𝑒−169	0.3𝑒−212	0.3𝑒−244	0.1𝑒−243	0.2𝑒−309
	10	|𝑓|	0.7𝑒−469	0.2𝑒−363	0.3𝑒−504	0.5𝑒−508	0.2𝑒−474	0.1𝑒−574
	8	|𝑓|	0.4𝑒−242	0.6𝑒−171	0.5𝑒−296	0.1𝑒−283	0.7𝑒−266	0.1𝑒−230
	9.2	|𝑓|	0.1𝑒−474	0.3𝑒−314	0.1𝑒−490	0.2𝑒−448	0.3𝑒−487	0.2𝑒−421
𝑓15		IT	8	4	3	3	3	3
		TNE	16	12	12	12	12	12
	1.5	|𝑓|	0.2𝑒−20	0.1𝑒−184	0.8𝑒−119	0.1𝑒−86	0.2𝑒−96	0.1𝑒−647
	1.2	|𝑓|	0.6𝑒−325	0.1𝑒−177	0.4𝑒−386	0.1𝑒−290	0.1𝑒−274	0.5𝑒−1096
	1.7	|𝑓|	F.	0.1𝑒−61	0.5𝑒−270	0.1𝑒−271	0.5𝑒−28	0.8𝑒−554
	0.9	|𝑓|	0.1𝑒−162	0.4𝑒−208	0.1𝑒−403	0.1𝑒−298	0.5𝑒−209	0.7𝑒−1190
𝑓16		IT	9	4	3	3	3	3
		TNE	18	12	12	12	12	12
	−0.1	|𝑓|	0.2𝑒−654	0.7𝑒−315	0.1𝑒−653	0.2𝑒−580	0.4𝑒−892	0.2𝑒−731
	−0.2	|𝑓|	0.6𝑒−490	0.3𝑒−244	0.3𝑒−486	0.1𝑒−412	0.1𝑒−655	0.2𝑒−495
	−0.3	|𝑓|	0.9𝑒−390	0.2𝑒−205	0.6𝑒−380	0.3𝑒−305	0.9𝑒−504	0.7𝑒−352
	0.2	|𝑓|	0.1𝑒−534	0.4𝑒−216	0.4𝑒−532	0.2𝑒−458	0.3𝑒−698	0.6𝑒−122