The method of generalized quasilinearization [4] is applied to 
study semilinear parabolic equation <mml:math alttext="$u_t  - Lu = f\left( {t,x,u} \right)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> with nonlocal
boundary conditions <mml:math alttext="$u\left( {t,x} \right) = \int\limits_\Omega  {\phi \left( {x,y} \right)} u\left( {t,y} \right)dy$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo>&#8747;</mml:mo><mml:mi>&#937;</mml:mi></mml:munder><mml:mrow><mml:mi>&#981;</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> in this paper.	The
convexity of <mml:math alttext="$f$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math alttext="$u$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> is relaxed by requiring <mml:math alttext="$f\left( {t,x,u} \right) + Mu^2 $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math> to be convex 
for some <mml:math alttext="$M &#62; 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>&#62;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. The quadratic convergence of monotone sequence is 
obtained.

International Journal of Stochastic Analysis

Quasilinearization for some nonlocal problems

Abstract

Copyright