We establish sufficient conditions under which all solutions of the third-order nonlinear differential equation <mml:math alttext="$\dddot{x}+\psi (x,\dot{x},\ddot{x})\ddot{x}+f(x,\dot{x}) =p(t,x,\dot{x},\ddot{x})$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo> &#8411;</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>&#968;</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#729;</mml:mo></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#168;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#168;</mml:mo></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#729;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#729;</mml:mo></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>&#168;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> are bounded and converge to zero as <mml:math alttext="$t\rightarrow \infty $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&#8594;</mml:mo><mml:mi>&#8734;</mml:mi></mml:mrow></mml:math>.

International Journal of Stochastic Analysis

On the asymptotic behavior of solutions of certain third-order nonlinear differential equations

Abstract

Copyright