An Empirical Likelihood Ratio-Based Omnibus Test for Normality with an Adjustment for Symmetric Alternatives

Table 1

Monte Carlo experiments to establish the values of at for the proposed CUSUM-type (CS) and Shiryaev–Roberts (SR) test statistics.

Distribution
		CS	SR	CS	SR	CS	SR	CS	SR	CS	SR	CS	SR	CS	SR
Symmetric short-tailed alternative distributions
Beta (2, 2)	20	0.0486	0.0378	0.1072	0.1116	0.1020	0.1028	0.0928	0.0820	0.0884	0.1032	0.0838	0.0888	0.0634	0.0886
	50	0.1528	0.1014	0.2904	0.2930	0.2366	0.2694	0.2536	0.2274	0.2176	0.2918	0.2372	0.2638	0.1822	0.2424
	100	0.3538	0.2480	0.5676	0.6062	0.5196	0.5512	0.5430	0.5384	0.5350	0.6194	0.5166	0.5688	0.4172	0.4968
Uniform (0, 1)	20	0.1584	0.1056	0.2998	0.3030	0.2256	0.2402	0.2556	0.2558	0.2134	0.2628	0.2136	0.2404	0.1368	0.2132
	50	0.5214	0.3882	0.7924	0.7874	0.6768	0.6590	0.7536	0.7482	0.6912	0.7804	0.6984	0.7560	0.5452	0.6714
	100	0.8750	0.8066	0.9882	0.9872	0.9596	0.9576	0.9838	0.9806	0.9736	0.9890	0.9738	0.9848	0.9532	0.9692
Trunc-norm (−1, 1)	20	0.0898	0.0618	0.1878	0.1920	0.1512	0.1694	0.1560	0.1534	0.1446	0.1704	0.1404	0.1464	0.1004	0.1386
	50	0.3140	0.2000	0.5604	0.5630	0.4624	0.4802	0.5144	0.5014	0.4490	0.5612	0.4466	0.4984	0.3384	0.4600
	100	0.6636	0.5412	0.8866	0.9094	0.8290	0.8398	0.8698	0.8706	0.8570	0.9038	0.8504	0.8866	0.7758	0.8358
Tukey (0, 1, 0.75, 0.75)	20	0.1160	0.0726	0.2294	0.2332	0.1714	0.1904	0.1878	0.1882	0.1652	0.2118	0.1724	0.1766	0.1062	0.1640
	50	0.3816	0.2640	0.6448	0.6458	0.5232	0.5442	0.6202	0.6002	0.5330	0.6206	0.5560	0.5880	0.4062	0.5334
	100	0.7598	0.6586	0.9428	0.9460	0.9014	0.8948	0.9362	0.9248	0.9132	0.9550	0.9228	0.9382	0.8568	0.8984
Symmetric long-tailed alternative distributions
T (4)	20	0.2396	0.2530	0.2208	0.2060	0.1828	0.1782	0.2286	0.2342	0.1990	0.2042	0.1968	0.2254	0.1798	0.1850
	50	0.4484	0.4212	0.4770	0.4600	0.4084	0.4220	0.4426	0.4810	0.4440	0.4596	0.4374	0.4684	0.4142	0.4302
	100	0.6630	0.6520	0.7264	0.7094	0.6896	0.6950	0.7062	0.7146	0.7018	0.7142	0.7012	0.7226	0.6556	0.6650
Logistic (0, 1)	20	0.1192	0.1196	0.1076	0.1014	0.0902	0.0846	0.1050	0.1178	0.1038	0.0968	0.1002	0.1080	0.0888	0.0908
	50	0.1840	0.1794	0.1990	0.1940	0.1708	0.1590	0.1890	0.1904	0.1736	0.1884	0.1790	0.1976	0.1546	0.1640
	100	0.2796	0.2490	0.3082	0.3216	0.2716	0.2766	0.3070	0.3254	0.2976	0.3104	0.2902	0.3204	0.2448	0.2712
Double-exp (0, 1)	20	0.2396	0.2708	0.2598	0.2270	0.1772	0.1792	0.2364	0.2660	0.2116	0.2088	0.2196	0.2382	0.1732	0.1738
	50	0.5032	0.4770	0.5446	0.5252	0.4410	0.4422	0.5322	0.5450	0.4926	0.4870	0.4980	0.5222	0.4412	0.4524
	100	0.7626	0.7334	0.8102	0.8158	0.7412	0.7470	0.8092	0.8214	0.7918	0.8058	0.7846	0.8130	0.7360	0.7328
Cauchy (0, 1)	20	0.8588	0.8554	0.8408	0.8318	0.7742	0.7580	0.8464	0.8678	0.8138	0.8140	0.8226	0.8420	0.7820	0.7744
	50	0.9940	0.9950	0.9958	0.9970	0.9944	0.9906	0.9956	0.9956	0.9946	0.9968	0.9938	0.9952	0.9936	0.9938
Asymmetric alternative distributions
Gamma (2, 1)	50	0.8614	0.8306	0.5636	0.4900	0.2820	0.2240	0.8172	0.7782	0.5282	0.4230	0.7794	0.7254	0.5682	0.4202
	100	0.9950	0.9910	0.8266	0.7686	0.4182	0.3356	0.9890	0.9818	0.8372	0.7216	0.9854	0.9736	0.8536	0.7208
Weibull (2, 1)	50	0.2794	0.2892	0.1680	0.1302	0.1354	0.1128	0.2568	0.2340	0.1590	0.1338	0.2358	0.2160	0.2070	0.1556
	100	0.5804	0.5506	0.2294	0.1870	0.1786	0.1298	0.5048	0.4496	0.2750	0.1950	0.4662	0.4062	0.3260	0.2106
SN (0, 1, 5)	50	0.5268	0.5064	0.2674	0.2010	0.1688	0.1428	0.4772	0.4332	0.2750	0.2040	0.4262	0.3864	0.3256	0.2254
	100	0.8706	0.8402	0.4290	0.3392	0.2192	0.1646	0.8430	0.7732	0.4754	0.3166	0.8062	0.7440	0.5418	0.3506

Bold represents the most superior CS-type statistic and italicized represents the most superior SR statistic.