Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 4

Inference rules for the frequent statements and dereferences elimination (2).

𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)⇛𝑛𝑠,𝑆^′𝑆_𝑡∶(𝑝,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠_𝑡,𝑆^′_𝑡)𝑆_𝑓∶(𝑝,𝑟𝑠^′′,𝑠𝑒^′′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠_𝑓,𝑆^′_𝑓)𝑖𝑓𝑆𝑡ℎ𝑒𝑛𝑆_𝑡𝑒𝑙𝑠𝑒𝑆_𝑓∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠;𝑖𝑓𝑆^′𝑡ℎ𝑒𝑛𝑛𝑠_𝑡;𝑆^′_𝑡𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛𝑠_𝑓;𝑆^′_𝑓)(𝑖𝑓^𝑓)

       (𝜆𝑥⋅𝑆₁)[𝑆₂/𝑥]∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)(𝜆𝑥⋅𝑆₁)𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)(𝑎𝑝𝑝𝑙^𝑓)

𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑆_𝑡∶(𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)⇛(𝑛𝑠_𝑡,𝑆^′_𝑡)𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒𝑆𝑑𝑜𝑆_𝑡∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠;𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒𝑆^′𝑑𝑜(𝑛𝑠_𝑡;𝑆^′_𝑡;𝑛𝑠))(𝑤ℎ𝑙^𝑓)

       𝑓𝑑(𝑛𝑎𝑚𝑒)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑛𝑎𝑚𝑒∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)(𝑛𝑎𝑚𝑒^𝑓)

       𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝜆𝑥⋅𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠;𝜆𝑥⋅𝑆^′)(𝑎𝑏𝑠^𝑓)

       𝑛𝑒𝑤_𝑙∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑛𝑒𝑤_𝑙∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠,𝑠𝑒)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑒𝑤_𝑙)(𝑛𝑒𝑤^𝑓)

     (𝜆𝑥⋅𝑆^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′′)𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐𝑥=𝑆𝑖𝑛𝑆^′∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′′)(𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐^𝑓)

    𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶𝑝→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′)𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑠𝑘𝑖𝑝,𝑛𝑠;𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆^′,𝑛))(𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡^𝑓)

   𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶𝑝→(𝐴^′,𝑝^′)𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)⇛(𝑛𝑠₂,𝑆^′₂)𝑆₁∶(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑠𝑒₂)→_𝑚(𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠₁,𝑆^′₁)𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠₁;𝑛𝑠₂,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆^′₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆^′₂)(𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠^𝑓)

    (𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁,𝑠𝑒^′₁)≤(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑝𝑎₁)(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑝𝑎₂)≤(𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂,𝑠𝑒^′₂)𝑆∶(𝑝₁,𝑎𝑠₁,𝑝𝑎₁)→_𝑚(𝑝₂,𝑎𝑠₂,𝑝𝑎₂)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝑆∶(𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁,𝑝𝑎₁)→_𝑚(𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂,𝑠𝑒^′₂)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)(𝑐𝑠𝑞^𝑓)

       𝐷𝑒𝑓𝑠∶∅↷𝑓𝑑𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛(𝑛𝑠,𝑆^′)𝐷𝑒𝑓𝑠∶𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠,𝑠𝑒)→_𝑚(𝐴,𝑝^′,𝑟𝑠^′,𝑠𝑒^′)⇛𝐷𝑒𝑓𝑠∶𝑛𝑠;𝑆^′(𝑝𝑟𝑔^𝑓)