Novel Computational Iterative Methods with Optimal Order for Nonlinear Equations

Table 2

Interesting choices of 𝛽,𝛾,𝛿,𝐻^′(0),𝐺^′′(0),𝐾^′′(0) in (2.8), which provide efficient optimal root solvers.

Method	𝛽	𝛾	𝛿	𝐺^′′(0)	𝐻^′(0)	𝐾^′′(0)	Error equation
1	1	1	1	6	0	4	𝑒𝑛+1=−𝑐2(2+𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
2	1	0	0	0	1	4	𝑒𝑛+1=𝑐2(−2+𝑐2(−1+3𝑐2)−𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
3	0	0	0	0	1	0	𝑒𝑛+1=𝑐2((−1+𝑐2)𝑐2−𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
4	0	0	0	0	0	−1/10	𝑒𝑛+1=𝑐2(1/20+𝑐^22−𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
5	1/10	1	1	1	1	−1/10	𝑒𝑛+1=(1/20)𝑐2(1+2𝑐2(−10+7𝑐2)−20𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
6	−1/2	0	0	0	−1/2	0	𝑒𝑛+1=(1/2)𝑐2(𝑐2−2𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
7	0	0	0	0	−1/2	2	𝑒𝑛+1=(1/2)𝑐2(𝑐2+2𝑐^22−2(1+𝑐3))𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
8	1	1	1	1	1	2	𝑒𝑛+1=(1/2)𝑐2(𝑐2(−2+5𝑐2)−2(1+𝑐3))𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
9	1	1	1	1	1	1	𝑒𝑛+1=(1/2)𝑐2(−1+𝑐2(−2+5𝑐2)−2𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)
10	0	0	0	1	1	1	𝑒𝑛+1=(1/2)𝑐2(−1+(−2+𝑐2)𝑐2−2𝑐3)𝑒^4𝑛+𝑂(𝑒^5𝑛)