On the Cardinality of the 𝑇₀-Topologies on a Finite Set

Table 1

Possibility	Number of open sets	Number of such topologies
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥2,𝑥𝑞,…,𝑥𝑞+𝑙+1,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+2^𝑛−5−𝑙	(𝑛)𝑙+62(𝑙+2)!, 𝑙=0,…,𝑛−6
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥𝑞,…,𝑥𝑞+𝑙+1,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+3⋅2^𝑛−6−𝑙	(𝑛)𝑙+6(𝑙+2)!, 𝑙=0,…,𝑛−6
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥𝑞,…,𝑥𝑞+𝑙+2,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+5⋅2^𝑛−7−𝑙	(𝑛)𝑙+72(𝑙+3)!, 𝑙=0,…,𝑛−7
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+2^𝑛−5	(𝑛)512
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥2,𝑥4,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+2^𝑛−6	(𝑛)64
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥4,𝑥5,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+2^𝑛−7	(𝑛)78
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥4,𝑥5,𝑥6,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4+2^𝑛−8	(𝑛)872
𝑈𝑦1={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑦1},; 𝑈𝑦2={𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑦2}	𝑘=5⋅2^𝑛−4	(𝑛)66