An existence theorem for stochastic inclusions <mml:math alttext="$x_t  - x_s  \in \int_s^t {F_\tau  \left( {x_\tau  } \right)} d\tau  + \int_s^t {G_\tau  } \left( {x_\tau  } \right)dw_\tau   + \int_s^t {\int\limits_{\mathbb{R}^n } {H_{\tau ,z} } \left( {x_r } \right)\tilde v} \left( {d\tau ,dz} \right)$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#x2208;</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:munder><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>&#x211D;</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>&#x2DC;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>&#x3C4;</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> with nonanticipative nonconvex-valued right-hand sides is proved.

International Journal of Stochastic Analysis

Existence theorem for nonconvex stochastic inclusions

Abstract

Copyright