Consider the problem
<mml:math display="block" alttext="$\left\{ \begin{gathered}   y'\left( t \right) = f\left( {t,y\left( t \right),\lambda } \right),t \in J = \left[ {0,b} \right], \hfill \\   y\left( 0 \right) = k_0 , \hfill \\   G\left( {y,\lambda } \right) = 0. \hfill \\  \end{gathered}  \right.$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#955;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&#8712;</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#955;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math>.
Employing the method of upper and lower solutions and the monotone 
iterative technique, existence of extremal solutions for the above equation 
are proved.

International Journal of Stochastic Analysis

Monotone iterations for differential equations with a parameter

Abstract

Copyright