Consider the tesselation of a plane into convex random polygons 
determined by a unit intensity Poissonian line process. Let <mml:math alttext="$M\left( A \right)$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> be the 
ergodic intensity of random polygons with areas exceeding a value <mml:math alttext="$A$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>. A 
two-sided asymptotic bound
<mml:math display="block" alttext="\[ \exp \left\{ { - 2\sqrt {{A \mathord{\left/  {\vphantom {A \pi }} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} \pi }}  + c_0 A^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 6$}}} } \right\} &#x3C; M\left( A \right) &#x3C; \exp \left\{ { - 2\sqrt {{A \mathord{\left/  {\vphantom {A \pi }} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} \pi }}  + c_1 A^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 6$}}} } \right\} \]" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>&#x3C0;</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mfrac bevelled="true"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x3C;</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#x3C;</mml:mo><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>&#x3C0;</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mfrac bevelled="true"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>6</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>
is established for large <mml:math alttext="$A$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, where <mml:math alttext="$c_0  &#x3E; 2.096$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&#x3E;</mml:mo><mml:mn>2.096</mml:mn></mml:math>, <mml:math alttext="$c_1  &#x3E; 6.36$" id="E6" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&#x3E;</mml:mo><mml:mn>6.36</mml:mn></mml:math>.

International Journal of Stochastic Analysis

On certain random polygons of large areas

Abstract

Copyright