Table 4: Partial results in groups of order ๐‘ฃ by Criterion 2. ๐ถ | ๐ป | = โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โˆถ ๐‘ฅ ๐‘ž = ๐‘ฆ 2 = [ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ] โŸฉ and parameters with asterisk indicate new results. No difference set image in ๐ป implies no diff. set image in Dihedral group of same order. ? means the number of groups of order ๐‘ฃ is unknown.

( ๐‘ฃ , ๐‘˜ , ๐œ† ) ๐‘š ๐‘ | ๐ป | Factoring of ๐‘ in โ„ค [ ๐œ | ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ | ] No. of groups of order ๐‘ฃ No. of groups ruled outSolutions in ๐ป

1(78, 22, 6) 4 2 26 2 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 3 ) 64 โˆ’ 4 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2(204, 29, 4) 5 5 34 5 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 7 ) 1210 โˆ’ 5 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 โˆ— (1140, 68, 4) 8 2 38 2 9 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 9 ) 4129 โˆ’ 8 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 โˆ— (396, 80, 16) 8 2 66 2 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d ๐‘ )
๐‘ = 1 1 , 3 3
3015None in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 โˆ— (300, 92, 48) 8 2 50 2 1 0 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 5 ) 499 โˆ’ 8 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
6 โˆ— (980, 89, 8) 9 3 14 3 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 7 ) 3431 โˆ’ 9 + 7 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
7 โˆ— (456, 105, 24) 9 3 38 3 9 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 9 ) 5439 โˆ’ 9 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
8 โˆ— (1856, 106, 6) 10 2, 5 58 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 9 )
๐‘Ž = 2 1 4 , 5 7
16301387 โˆ’ 1 0 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
9 โˆ— (7504, 123, 2) 11 11 134 1 1 3 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 6 7 ) ?? โˆ’ 1 1 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 0 โˆ— (3876, 125, 4) 11 11 34 1 1 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 7 ) 4034 โˆ’ 1 1 + 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 1 โˆ— (2870, 152, 8) 12 2, 3 82 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 )
๐‘Ž = 2 1 0 , 3 4
128 โˆ’ 1 2 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 2 โˆ— (666, 210, 66) 12 2, 3 74 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 7 )
๐‘Ž = 2 1 8 , 3 9
1810 โˆ’ 1 2 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 3 โˆ— (610, 232, 88) 12 2, 3 122 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 6 1 )
๐‘Ž = 2 3 0 , 3 5
64 โˆ’ 1 2 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 4 โˆ— (14536, 171, 2) 13 13 46Remark 2.3?? โˆ’ 1 3 + 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 5 โˆ— (7440, 173, 4) 13 13 62 1 3 1 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 1 ) ?? โˆ’ 1 3 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 6 โˆ— (5076, 175, 6) 13 13 94 1 3 2 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 7 ) ?? โˆ’ 1 3 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 7 โˆ— (2716, 181, 12) 13 13 194 1 3 4 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 9 7 ) 11 9 โˆ’ 1 3 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 8 โˆ— (19504, 198, 2) 14 2, 7 106 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 5 3 )
๐‘Ž = 2 2 6 , 7 1 3
?? โˆ’ 1 4 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
1 9 โˆ— (1696, 226, 30) 14 2, 7 212 2 2 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 5 3 )
7 1 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d ๐‘ )
๐‘ = 5 3 , 1 0 6 , 2 1 2
235194 1 4 + โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
2 0 โˆ— (8856, 231, 6) 15 3, 5 82 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 )
๐‘Ž = 3 4 , 5 2 0
?? โˆ’ 1 5 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 1 โˆ— (1508, 275, 50) 15 3, 5 58 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 9 )
๐‘Ž = 3 1 4 , 5 7
15 11 โˆ’ 1 5 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 2 โˆ— (976, 351, 126) 15 3, 5 122 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 6 1 )
๐‘Ž = 3 5 , 5 1 5
51 14 โˆ’ 1 5 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 3 โˆ— (3256, 280, 24) 16 2 74 2 1 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 7 ) ?? โˆ’ 1 6 + 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 4 โˆ— (1036, 460, 204) 16 2 74 2 1 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 7 ) 119 1 6 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ ; 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ + 8 ( 1 + ๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘ฆ )
2 5 โˆ— (21390, 293, 4) 17 17 62 1 7 1 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 1 ) 3616 โˆ’ 1 7 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 6 โˆ— (52976, 326, 2) 18 2, 3 86 3 2 1 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 3 ) See Remark 2.2 for โŸจ 2 โŸฉ ?? โˆ’ 1 8 + 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 7 โˆ— (18096, 330, 6) 18 2, 3 58 ๐‘Ž 1 4 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 9 )
๐‘Ž = 2 , 3
?? โˆ’ 1 8 + 1 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 8 โˆ— (1776, 426, 102) 18 2, 3 74 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 7 )
๐‘Ž = 2 1 8 , 3 9
260170 โˆ’ 1 8 + 1 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
2 9 โˆ— (65704, 363, 2) 19 19 382 1 9 9 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 9 1 ) ? ? โˆ’ 1 9 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 0 โˆ— (22388, 367, 6) 19 19 386 1 9 9 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 9 3 ) 15 11 โˆ’ 1 9 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 1 โˆ— (13728, 371, 10) 19 19 26 1 9 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 3 ) ? ? โˆ’ 1 9 + 1 5 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
3 2 โˆ— (7960, 379, 18) 19 19 398 1 9 9 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 9 9 ) ?? โˆ’ 1 9 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 3 โˆ— (5084, 391, 30) 19 19 82 1 9 2 0 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 ) 11 9 โˆ’ 1 9 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 4 โˆ— (2256, 451, 90) 19 19 94 1 9 2 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 7 ) ? ? โˆ’ 1 9 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 5 โˆ— (40704, 404, 4) 20 2, 5 106 ๐‘Ž 2 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 5 3 )
๐‘Ž = 2 , 5
?? โˆ’ 2 0 + 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 6 โˆ— (16770, 410, 10) 20 2, 5 86 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 3 )
๐‘Ž = 2 7 , 5 2 1
48 24 โˆ’ 2 0 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 7 โˆ— (1830, 590, 190) 20 2, 5 122 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 6 1 )
๐‘Ž = 2 3 0 , 5 1 5
18 8 โˆ’ 2 0 + 1 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ i n ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 8 โˆ— (49369, 445, 4) 21 3, 7 466 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 3 3 )
๐‘Ž = 3 1 1 6 , 7 5 8
1511 โˆ’ 2 1 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
3 9 โˆ— (17064, 453, 12) 21 3, 7 158 ๐‘Ž 3 9 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 7 9 )
๐‘Ž = 3 , 7
?? โˆ’ 2 1 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 0 โˆ— (14756, 455, 14) 21 3, 7 34 ๐‘Ž 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 7 )
๐‘Ž = 3 , 7
2723 โˆ’ 2 1 + 1 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
4 1 โˆ— (10604, 461, 20) 21 3, 7 482 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 4 1 )
๐‘Ž = 3 6 0 , 7 1 2 0
119 โˆ’ 2 1 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 2 โˆ— (7380, 471, 30) 21 3, 7 82 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 )
๐‘Ž = 3 4 , 7 2 0
14989 โˆ’ 2 1 + 1 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 3 โˆ— (5336, 485, 44) 21 3, 7 46Remark 2.3? ? โˆ’ 2 1 + 1 1 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
4 4 โˆ— (3128, 531, 90) 21 3, 7 46Remark 2.3? ? โˆ’ 2 1 + 1 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
4 5 โˆ— (2408, 581, 140) 21 3, 7 86 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 3 )
๐‘Ž = 3 2 1 , 7 3
? ? โˆ’ 2 1 + 1 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 6 โˆ— (70890, 533, 4) 23 23 278 2 3 2 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 3 9 ) 24 16 โˆ’ 2 3 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 7 โˆ— (47616, 535, 8) 23 23 62 2 3 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 1 ) ? ? โˆ’ 2 3 + 1 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
4 8 โˆ— (13776, 551, 22) 23 23 82 2 3 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 ) ? ? โˆ’ 2 3 + 7 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
4 9 โˆ— (166754, 578, 2) 24 2, 3 86 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 3 )
๐‘Ž = 2 7 , 3 2 1
12 8 โˆ’ 2 4 + 1 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 0 โˆ— (56358, 582, 6) 24 2, 3 202 ๐‘Ž 5 0 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 0 1 )
๐‘Ž = 2 , 3
? ? โˆ’ 2 4 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 1 โˆ— (10388, 612, 36) 24 2, 3 106 ๐‘Ž 2 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 5 3 )
๐‘Ž = 2 , 3
34 28 โˆ’ 2 4 + 1 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 2 โˆ— (4844, 668, 92) 24 2, 3 346 ๐‘Ž 8 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 7 3 )
๐‘Ž = 2 , 3
11 9 โˆ’ 2 4 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 3 โˆ— (3690, 714, 138) 24 2, 3 82 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 )
๐‘Ž = 2 1 0 , 3 4
30 20 โˆ’ 2 4 + 1 8 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 4 โˆ— (3172, 756, 180) 24 2, 3 122 ๐‘Ž โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 6 1 )
๐‘Ž = 2 3 0 , 3 5
15 11 2 4 + 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ , 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ + 1 2 ( 1 + ๐‘ฅ + ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘ฆ )
5 5 โˆ— (2332, 1036, 460) 24 2, 3 106 ๐‘Ž 2 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 5 3 )
๐‘Ž = 2 , 3
11 9 โˆ’ 2 4 + 2 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 6 โˆ— (196252, 627, 2) 25 5326 5 2 7 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 6 3 ) ? ? โˆ’ 2 5 + 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 7 โˆ— (66256, 631, 6) 25 582 5 1 0 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 1 ) ? ? โˆ’ 2 5 + 1 6 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 8 โˆ— (50008, 633, 8) 25 594 5 2 3 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 4 7 ) ? ? โˆ’ 2 5 + 1 4 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
5 9 โˆ— (17524, 649, 24) 25 5674 5 5 6 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 3 7 ) 15 11 โˆ’ 2 5 + 2 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
6 0 โˆ— (14280, 655, 30) 25 534 5 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 1 7 ) ? ? โˆ’ 2 5 + 2 0 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
6 1 โˆ— (11040, 665, 40) 25 512 5 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d ๐‘ ) ๐‘ = 2 , 3 ? ? โˆ’ 2 5 + 1 1 5 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ in ๐ป / โŸจ ๐‘” โŸฉ
6 2 โˆ— (11040, 665, 40) 25 546Remark 2.3 ? ? โˆ’ 2 5 + 1 5 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
6 3 โˆ— (5104, 729, 104) 25 558 5 7 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 2 9 ) ? ? โˆ’ 2 5 + 1 3 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ
6 4 โˆ— (2812, 937, 312) 25 574 5 1 8 โ‰ก โˆ’ 1 ( m o d 3 7 ) 11 9 โˆ’ 2 5 + 1 3 โŸจ ๐‘ฅ โŸฉ โŸจ ๐‘ฆ โŸฉ