A recent result of Kateb asserts that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> implies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:msup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ℝ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> as soon as the following three conditions hold: (1) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≺</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>≺</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, (2) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> is bounded, (3) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>≻</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>. By means of counterexamples, we prove that those conditions are optimal.

Journal of Function Spaces

A sharpness result for powers of Besov functions

Abstract

Copyright