Nonuniform Finite Difference Scheme for the Three-Dimensional Time-Fractional Black–Scholes Equation

Listing 1

MATLAB code for cash-or-nothing.

1 c l e a r ; c l c ;

2 L=200; x v o l=0. 3 ; y v o l=0. 3 ; z v o l=0. 3 ; r=0. 0 3 ; rho xy=0. 5 ; rho yz=0. 5 ;

3 rho zx=0. 5 ;K1=100;K2=100;K3=100;T=0.1 ; dt=0.1 /80;Nt=c e i l (T/dt ) ;

4 h=1;m1=5;m2=5;m3=4; xr=K1+0. 5 h : h :K1+0. 5 h+m1;

5 xr=[ xr (1:end -1) xr(end): 2 h : xr(end)+2hm2 ] ;

6 xr=[ xr (1:end -1) xr(end): 4 h : xr(end)+4hm3 ] ;

7 m4=f l o o r ( (L- xr(end)) /8) ;

8 xr=[ xr (1:end -1) xr(end): 8 h : xr(end)+8hm4 ] ;

9 i f xr(end)<L

10 xr(end)=(xr ( end -1 )+L) / 2 ; xr ( end+1)=L;

11 end

12 x=[ f l i p l r (L- xr ) xr ] ; y=x ; z=x ;

13 Nx=length ( x ) ;Ny=length ( y ) ;Nz=length ( z ) ; hx=d i f f ( x ) ; hy=d i f f ( y ) ;

14 hz=d i f f ( z ) ;

15 U=z e r o s (Nx,Ny,Nz ,Nt+1) ;U( x>=K1, y>=K2, z>=K3, 1 ) =100;V=U;

16 alp=0. 5 ; s=1. 0 /( dtˆ alp gamma(2 - alp ) ) ;

17 ax=z e r o s (1 ,Nx-2 ) ; dx=ax ; cx=ax ;

18 f o r i =2:Nx-1

19 ax ( i -1 )=r x ( i ) hx( i ) /(hx( i -1 ) (hx ( i -1 )+hx ( i ) ) ) . . .

20 - ( x v o l x ( i ) ) ˆ2/(hx ( i -1 ) ( hx( i -1 )+hx ( i ) ) ) ;

21 dx ( i -1 )=s+( x v o l x ( i ) ) ˆ2/(hx( i -1 ) hx ( i ) ) . . .

22 - r x ( i ) ( hx( i ) -hx( i -1 ) ) /(hx ( i -1 ) hx( i ) )+r / 3 ;

23 cx ( i -1 )=- r x ( i ) hx ( i -1 ) /(hx ( i ) (hx ( i -1 )+hx( i ) ) ) . . .

24 - ( x v o l x ( i ) ) ˆ2/(hx ( i ) (hx ( i -1 )+hx ( i ) ) ) ;

25 end

26 dx ( 1 )=dx ( 1 )++2ax ( 1 ) ; cx ( 1 )=cx ( 1 ) - ax ( 1 ) ;

27 ax (Nx-2 )=ax (Nx-2 ) - cx (Nx-2 ) ; dx (Nx-2 )=dx(Nx-2 )++2cx (Nx-2 ) ;

28 bx=ax ; by=ax ; bz=ax ;

29 f o r n=1:Nt

30 F=z e r o s (Nx-2 ,Ny-2 ,Nz -2 ) ;

31 i f n>1

32 f o r j =1:n -1

33 F=F+((n - j+1) ˆ(1 - alp ) - (n - j ) ˆ(1 - alp ) ) (U( 2 :Nx-1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , j+1) . . .

34 -U( 2 :Nx-1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , j ) ) ;

35 end

36 end

37 V( : , : , : , n)=U( : , : , : , n) ;

38 f o r j =2:Ny-1

39 f o r k=2:Nz -1

40 f o r i =2:Nx-1

41 bx ( i -1 )=s V( i , j , k , n) - s F( i -1 , j -1 , k -1 ) . . .

42 +( rho xy x v o l y v o l x ( i ) y ( j ) (V( i +1, j +1,k , n)+V( i -1 , j -1 , k , n) . . .

43 -V( i -1 , j+1,k , n) -V( i +1, j -1 , k , n) ) / ( ( hx ( i ) hy( j ) )+(hx ( i -1 ) hy ( j ) ) . . .

44 +(hx( i ) hy( j -1 ) )+(hx ( i -1 ) hy( j -1 ) ) ) . . .

45 +rho yz y v o l z v o l y ( j ) z ( k ) (V( i , j+1,k+1,n)+V( i , j -1 , k -1 , n) . . .

46 -V( i , j -1 , k+1,n) -V( i , j +1,k -1 , n) ) / ( ( hy ( j ) hz ( k ) )+(hy ( j -1 ) hz ( k ) ) . . .

47 +(hy( j ) hz ( k -1 ) )+(hy ( j -1 ) hz ( k -1 ) ) ) . . .

48 +rho zx x v o l z v o l x ( i ) z ( k ) (V( i +1, j , k+1,n)+V( i -1 , j , k -1 , n) . . .

49 -V( i -1 , j , k+1,n) -V( i +1, j , k -1 , n) ) / ( ( hx ( i ) hz ( k ) )+(hx ( i -1 ) hz ( k ) ) . . .

50 +(hx( i ) hz ( k -1 ) )+(hx ( i -1 ) hz ( k -1 ) ) ) ) ;

51 end

52 U( 2 :Nx-1 , j , k , n+1)=thomas3 ( ax , dx , cx , bx ) ;

53 end

54 end

55 U( 1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( 2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

56 -U( 3 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

57 U( : , 1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( : , 2 , 2 :Nz -1 , n+1) -U( : , 3 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

58 U( : , : , 1 , n+1)=2U( : , : , 2 , n+1) -U( : , : , 3 , n+1) ;

59 U(Nx , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U(Nx-1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

60 -U(Nx-2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

61 U( : ,Ny , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( : ,Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) -U( : ,Ny-2 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

62 U( : , : ,Nz , n+1)=2U( : , : ,Nz -1 , n+1) -U( : , : ,Nz -2 , n+1) ;

63 f o r k=2:Nz -1

64 f o r i =2:Nx-1

65 f o r j =2:Ny-1

66 by ( j -1 )=s U( i , j , k , n+1) ;

67 end

68 V( i , 2 :Ny-1 , k , n+1)=thomas3 ( ax , dx , cx , by ) ;

69 end

70 end

71 V( 1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2V( 2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

72 -V( 3 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

73 V( : , 1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2V( : , 2 , 2 :Nz -1 , n+1) -V( : , 3 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

74 V( : , : , 1 , n+1)=2V( : , : , 2 , n+1) -V( : , : , 3 , n+1) ;

75 V(Nx , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2V(Nx-1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

76 -V(Nx-2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

77 V( : ,Ny , 2 :Nz -1 , n+1)=2V( : ,Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) -V( : ,Ny-2 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

78 V( : , : ,Nz , n+1)=2V( : , : ,Nz -1 , n+1) -V( : , : ,Nz -2 , n+1) ;

79 f o r j =2:Ny-1

80 f o r i =2:Nx-1

81 f o r k=2:Nz -1

82 bz (k -1 )=s V( i , j , k , n+1) ;

83 end

84 U( i , j , 2 :Nz -1 , n+1)=thomas3 ( ax , dx , cx , bz ) ;

85 end

86 end

87 U( 1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( 2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

88 -U( 3 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

89 U( : , 1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( : , 2 , 2 :Nz -1 , n+1) -U( : , 3 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

90 U( : , : , 1 , n+1)=2U( : , : , 2 , n+1) -U( : , : , 3 , n+1) ;

91 U(Nx , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1)=2U(Nx-1 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) . . .

92 -U(Nx-2 , 2 :Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

93 U( : ,Ny , 2 :Nz -1 , n+1)=2U( : ,Ny-1 , 2 :Nz -1 , n+1) -U( : ,Ny-2 , 2 :Nz -1 , n+1) ;

94 U( : , : ,Nz , n+1)=2U( : , : ,Nz -1 , n+1) -U( : , : ,Nz -2 , n+1) ;

95 end

96 f i g u r e ( 1 ) ; c l f ; colormap ( [ 0 0 0 ] ) ;

97 mesh ( x , y ,U( : , : , min ( f i n d ( z>100) )++1,n+1) ) ;

98 Pr i c e=i n t e rp 3 (y , x , z ,U( : , : , : , Nt+1) ,K1,K2,K3)

99 f u n c t i on x=thomas3 ( alpha , beta ,gamma, f )

100 n=length ( f ) ;

101 f o r i =2:n

102 mult=alpha ( i ) / be ta ( i -1 ) ;

103 be ta ( i )=be ta ( i ) -multgamma( i -1 ) ;

104 f ( i )=f ( i ) -mult f ( i -1 ) ;

105 end

106 x (n)=f (n) / be ta (n) ;

107 f o r i=n -1 : -1 : 1

108 x ( i )=( f ( i ) -gamma( i ) x ( i+1) ) / be ta ( i ) ;

109 end

110 end