We study the location of the peaks of solution for the critical growth problem <mml:math alttext="$-\varepsilon^{2}\Delta u + u = f(u) + u^{2^{*}-1}$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mrow><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mtext> </mml:mtext><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$u &gt; 0$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> in <mml:math alttext="$\Omega$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math>, <mml:math alttext="$u = 0$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> on <mml:math alttext="$\partial\Omega$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, where <mml:math alttext="$\Omega$" id="E6" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> is a bounded domain; <mml:math alttext="$2^{*} = {2N}/({N-2})$" id="E7" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$N\geq 3$" id="E8" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math>, is the critical Sobolev exponent and <mml:math alttext="$f$" id="E9" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> has a behavior like <mml:math alttext="$u^p$" id="E10" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$1 &lt; p &lt; 2^{*}-1$" id="E11" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>.

Abstract and Applied Analysis

On the location of the peaks of least-energy solutions to semilinear Dirichlet problems with critical growth

Abstract

Copyright