We consider an initial
boundary value problem related to the equation <mml:math alttext="$u_{t}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(x,s)ds= |u|^{p-2}u$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>&#x222B;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and prove, under suitable conditions on <mml:math alttext="$g$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> and <mml:math alttext="$p$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>,
a blow-up result for certain solutions with positive initial energy.

Abstract and Applied Analysis

Blow-up of solutions of a semilinear heat equation with a memory term

Abstract

Copyright