New Nonlinear Systems Admitting Virasoro-Type Symmetry Algebra and Group-Invariant Solutions

Table 3

Solutions to system (21) of Case 6.

𝑟𝑖	𝑓(𝑡)	𝑝(𝑥,𝑦,𝑡)	𝑟(𝑥,𝑦,𝑡)
𝑟3	1	𝑥𝑡+𝐹(𝑥)+𝐶1√𝑦+𝐶2	∫𝑥𝑥𝐹̇(𝑥)−𝐶1−𝐹(𝑥)d𝑥+𝐾𝑦,𝑡
𝑟3	𝑡	𝑥ln𝑡+𝐹(𝑥)+𝐶1√𝑦+𝐶2	∫(𝑥/(𝑥𝐹̇(𝑥)−𝐶1−𝐹(𝑥)))d𝑥𝑡+𝐹(𝑦)𝑡
𝑟3	𝑡^2	−𝑥𝑡+𝐹(𝑥)+𝐶1√𝑦+𝐶2	∫(𝑥/(𝑥𝐹̇(𝑥)−𝐶1−𝐹(𝑥)))d𝑥𝑡^2+𝐹(𝑦)𝑡^2
𝑟8	1	𝐶1𝑥	𝐾(𝑥,𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)
𝑟8	1	𝐹(𝑥)	ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)
𝑟8	1	𝐶1𝐶𝑥+^2𝑥^𝐶3√𝑦𝑒^𝑡/2𝛼	−𝑥2𝛼𝐶3
𝑟8	1	𝐶1𝑥+𝐶2(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)^𝐶3	𝐶3𝑥1−2𝐶3𝛼+ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)
𝑟8	𝑡	𝐶1𝑥	𝐾(𝑥,𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)𝑡
𝑟8	𝑡	𝐹(𝑥)	ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)𝑡
𝑟8	𝑡	𝐶3𝐶𝑥+^2𝑥^𝐶1√𝑦𝑡^1/2𝑎	−𝑥2𝑎𝐶1
𝑟8	𝑡	𝐶2𝐶3𝑥𝑦^𝛼𝐶1−𝑡^𝐶1𝐶2𝑦^𝛼𝐶1	(1+2𝐶1𝛼)ℎ(𝑦^𝛼/𝑡)−𝐶1𝑥(1+2𝐶1𝛼)𝑡
𝑟8	𝑡^2	𝐶1𝑥	𝑘(𝑥,𝑦𝑒^1/𝛼𝑡)𝑡^2
𝑟8	𝑡^2	𝐹(𝑥)	ℎ(𝑦𝑒^1/𝛼𝑡)𝑡^2
𝑟8	𝑡^2	𝐶1𝑥+𝐶2𝑥^𝐶3√𝑦𝑒^1/2𝛼𝑡	−𝑥2𝐶3𝛼𝑡^2
𝑟8	𝑡^2	𝐶1𝑥+𝐶2(𝑦𝑒^1/𝛼𝑡)^𝐶3	−𝐶3𝑥(2𝐶3−1)𝛼𝑡^2+ℎ(𝑦𝑒^1/𝛼𝑡)𝑡^2
𝑟9	1	𝑥𝑡𝛼+𝐶3𝑥^2(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)^1/2𝛼−2𝑥(2ln𝑥−𝐶2)	−𝑥4𝛼
𝑟9	1	𝑥𝑡𝛼+(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)^1/(𝛼(2+𝐶4))+𝐶3𝑥+𝐶4𝑥ln𝑥	𝑥4𝛼+ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)
𝑟9	1	𝑥(𝛼ln𝑦−2𝛼ln𝑥+𝐶1𝛼)𝛼	𝑥ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)
𝑟9	1	𝑥𝑡𝛼+(ℎ(𝑦^𝛼𝑒^−𝑡)−2ln𝑥)𝑥	−𝑥2𝛼
𝑟12	1	𝐶3𝑒^𝑡𝑥^𝐶2(𝐶1𝑥+√𝑦)	𝑥𝐶2
𝑟12	1	ℎ(𝑥)𝑒^𝛼/𝑡	∫ℎ(𝑥)𝛼(𝑥ℎ̇(𝑥)−ℎ(𝑥))d𝑥+𝐾(𝑦,𝑡)
𝑟12	𝑡	𝐶3𝑡𝑥^𝐶2(𝐶1𝑥+√𝑦)	𝑥𝐶2𝑡
𝑟12	𝑡	𝑡^1/𝛼ℎ(𝑥)	∫ℎ(𝑥)/(𝛼(𝑥ℎ̇(𝑥)−ℎ(𝑥)))d𝑥+𝐾(𝑦,𝑡)𝑡