New Nonlinear Systems Admitting Virasoro-Type Symmetry Algebra and Group-Invariant Solutions

Table 4

Solutions to system (21) of Case 7.

𝑟𝑖	𝑝(𝑥,𝑦,𝑡)	𝑟(𝑥,𝑦,𝑡)
𝑟3	𝑥𝑡+𝐹(𝑥)+𝐶1+𝐶2√𝑦	∫𝑥−𝐹(𝑥)−𝐶1+𝑥𝐹^′(𝑥)d𝑥+ℎ𝑦
𝑟4	−𝑥𝑡+𝐹(𝑥)+𝐶1+𝐶2√𝑦	∫−𝑥−𝐹(𝑥)−𝐶1+𝑥𝐹^′(𝑥)d𝑥+ℎ𝑦
𝑟8	𝐶1𝑥	𝐾𝑦𝑥,𝑒^𝑡/𝛼
𝑟8	𝐹(𝑥)	ℎ𝑦𝑒^𝑡/𝛼
𝑟8	𝐶3𝑥+𝐶2𝑥^𝐶1√𝑦𝑒^𝑡/2𝛼	−𝑥2𝛼𝐶1
𝑟8	𝐶3𝑥+𝐶2𝑦^𝐶1𝑒^(𝐶1𝑡)/𝛼	𝐶1𝑥𝛼1−2𝐶1𝑦+𝐹𝑒^𝑡/𝛼
𝑟9	𝑥𝑡𝛼+𝐹(𝑥)	∫𝑥𝛼−𝐹(𝑥)+𝑥𝐹^′(𝑥𝑦)d𝑥+ℎ𝑒^𝑡/𝛼
𝑟9	𝑥𝑡𝛼−2𝑥ln𝐶3𝑥+𝐶1𝑥+𝐶3𝑥𝑦𝑒^𝑡/𝛼	−𝑥2𝛼
𝑟9	𝑥𝑡𝛼+𝐶2−2ln𝑥+𝐶1𝑥𝑒^𝐶4/𝐶2−𝑦𝑒^𝑡/𝛼1/𝐶2𝑒^−𝐶4/𝐶2	𝑥𝛼𝐶2𝑦−2+𝐹𝑒^𝑡/𝛼
𝑟9	𝑥𝑡𝛼𝑦+𝑥ln𝑒^𝑡/𝛼+𝐶1−2ln𝑥	𝑦𝑥𝐹𝑒^𝑡/𝛼
𝑟10	−𝑥𝑡𝛼+𝐹(𝑥)	∫−𝑥𝛼−𝐹(𝑥)+𝑥𝐹^′(𝑥𝑦)d𝑥+ℎ𝑒^𝑡/𝛼
𝑟10	−𝑥𝑡𝛼+2𝑥ln(𝐶3𝑥)+𝐶1𝑥+𝐶3𝑥𝑦𝑒^𝑡/𝛼	−𝑥2𝛼
𝑟10	−𝑥𝑡𝛼+−𝐶2+2ln𝑥+𝐶1𝑥𝑒^𝐶4/𝐶2−𝑦𝑒^𝑡/𝛼1/𝐶2𝑒^−𝐶4/𝐶2	𝑥𝛼𝐶2𝑦−2+𝐹𝑒^𝑡/𝛼
𝑟10	−𝑥𝑡𝛼𝑦+𝑥−ln𝑒^𝑡/𝛼+𝐶1+2ln𝑥	𝑦𝑥𝐹𝑒^𝑡/𝛼
𝑟12	𝑒^𝑡/𝛼+𝐶1𝑥+𝐶2√𝑦	𝑥ℎ(𝑦)+𝛼
𝑟14	𝑦^1/𝛼𝐹(𝑥)𝑦𝑒^𝛼𝑡/𝛽−1/𝛼	∫𝐹(𝑥)𝛽𝑥𝐹^′(𝑥)(𝑥)𝑦−𝐹d𝑥+ℎ𝑒^𝛼𝑡/𝛽
𝑟14	𝑦^1/𝛼𝑥^(𝛼/2−1)𝐶1𝐶3𝑥^𝐶2(1−𝛼/2)𝑦𝑒^𝛼𝑡/𝛽𝛼−2/2𝛼+𝐶3𝑥^𝐶2𝑦𝑒^𝛼𝑡/𝛽−1/𝛼	𝑥𝛽𝐶2−1
𝑟14	𝐶1𝑦^1/𝛼	𝐹𝑦𝑒^𝛼𝑡/𝛽