Conditional Lie-Bäcklund Symmetries and Reductions of the Nonlinear Diffusion Equations with Source

Table 2

CLBS (15) and IS (19) with 𝑙=2 of (14) for special 𝑚.

Number	Equation (14)	CLBS (15)	IS (19)
1	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥93𝑣𝑝−𝑞2𝑣4𝑝−𝑞^𝑥2𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥−24𝑝−𝑞99𝑝−𝑞𝑝−𝑞2𝑣4𝑝−𝑞^𝑥4+1216𝑝−𝑞^34𝑝−𝑞𝑣^4𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−24𝑝−𝑞9𝑝−𝑞(𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(4)(𝑥)+𝛾𝑓2^(4)(𝑥))	𝜂=𝑣𝑥𝑥+7𝑝−4𝑞9𝑣𝑥+4𝑝−𝑞𝑝−𝑞𝑣27	𝑊𝑓1^(4)(𝑥),𝑓2^(4)(𝑥)
2	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥3𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥+(𝑝−𝑞)^3(2𝑝−3𝑞)^3𝑣^3(5𝑝−6𝑞)^2+𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(5)(𝑥)+𝛾𝑓2^(5)(𝑥),𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝−𝑞𝑣𝑥+2𝑝−3𝑞𝑝−𝑞^2𝑣5𝑝−6𝑞	𝑊𝑓1^(5)(𝑥),𝑓2^(5)(𝑥)
3	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥3𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥+𝑝−𝑞𝑝+𝑞^3𝑣^3432+𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(6)(𝑥)+𝛾𝑓2^(6)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+2𝑝−𝑞3𝑣𝑥+𝑝^2−𝑞^2𝑣12	𝑊𝑓1^(6)(𝑥),𝑓2^(6)(𝑥)
4	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥3𝑣𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥+𝑝−𝑞2𝑝−3𝑞^3𝑣^29+12𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(7)(𝑥)+𝛾𝑓2^(7)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥−2𝑝−3𝑞𝑝−𝑞3𝑣	𝑊𝑓1^(7)(𝑥),𝑓2^(7)(𝑥)
5	𝑣𝑡=34𝑣^2𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥+18𝑣𝑣^4𝑥−27𝑝80000^4𝑣^5−2𝛼𝑣+𝛽𝑒^(1/10)𝑝𝑥+𝛾𝑒^−(3/10)𝑝𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝5𝑣𝑥−3𝑝^2𝑣100	𝑊𝑒^(1/10)𝑝𝑥,𝑒^−(3/10)𝑝𝑥
6	𝑣𝑡=3𝑣𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝3𝑣𝑥+18𝑣𝑣^4𝑥−8𝑝𝑣5^4+𝛼𝑣+𝛽𝑒^(1/5)𝑝𝑥+𝛾𝑒^−(2/5)𝑝𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝5𝑣𝑥−2𝑝^2𝑣25	𝑊𝑒^(1/5)𝑝𝑥,𝑒^−(2/5)𝑝𝑥
7	𝑣𝑡=𝑒^−(3/13)𝑥34𝑣𝑣^2𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥−8𝑣27^4𝑥−26𝑣13^4−32𝛼𝑣+𝛽𝑒^−(9𝑝/13)𝑥+𝛾𝑒^(6𝑝/13)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥+3𝑝𝑣13^𝑥−54𝑝^2𝑣169	𝑊𝑒^−(9𝑝/13)𝑥,𝑒^(6𝑝/13)𝑥
8	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−213𝑝−4𝑞𝑣9𝑝^2𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥−4𝑝−𝑞13𝑝−4𝑞81𝑝^2𝑣^3𝑥+𝑝−𝑞3𝑝−4𝑞𝑝𝑣162^4𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−9𝑝13𝑝−4𝑞𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(8)(𝑥)+𝛾𝑓2^(8)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+5𝑝−2𝑞6𝑣𝑥+𝑝^2−𝑝𝑞6𝑣	𝑊𝑓1^(8)(𝑥),𝑓2^(8)(𝑥)
9	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥4𝑘+1𝑣𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+4(𝑘+1)^2𝑣^3𝑥−(−4𝑞−2𝑞𝑘+3𝑝+𝑝𝑘)^2(𝑝−𝑞)(𝑘+1)^2𝑣(𝑘+2)^3𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥+𝑘+12𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(9)(𝑥)+𝛾𝑓2^(9)(𝑥),𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝−𝑞6𝑣𝑥+−4𝑞−2𝑞𝑘+3𝑝+𝑝𝑘𝑝−𝑞2()𝑣𝑘+2	𝑊𝑓1^(9)(𝑥),𝑓2^(9)(𝑥)
10	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥4𝑘+1𝑣𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+4(𝑘+1)^2𝑣^3𝑥−(𝑘+1)3𝑝+𝑝𝑘−𝑞𝑘−2𝑞2(2𝑘+5)^3×𝑝+𝑞^2𝑣^3𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥+𝑘+12𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(10)(𝑥)+𝛾𝑓2^(10)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+−4𝑞−𝑞𝑘+6𝑝+3𝑝𝑘𝑣4𝑘+10^𝑥+(𝑘+1)𝑝^2−𝑞^2𝑣4(2𝑘+5)	𝑊𝑓1^(10)(𝑥),𝑓2^(10)(𝑥)
11	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−43𝑝−2𝑞9𝑝𝑣𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+43𝑝−𝑞^281𝑝^2𝑣^3𝑥𝑣+4𝑝3𝑝−2𝑞9^3𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−9𝑝23𝑝−2𝑞𝛼𝑣+𝛽𝑒^−(𝑝/2)𝑥+𝛾𝑒^−((3𝑝−2𝑞)/6)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥𝑞+(𝑝−3)𝑣𝑥+𝑝3𝑝−2𝑞𝑣12	𝑊𝑒^−(𝑝/2)𝑥,𝑒^−((3𝑝−2𝑞)/6)𝑥
12	𝑣𝑡=2𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(11)(𝑥)+𝛾𝑓2^(11)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+3𝑝2−𝑞𝑣𝑥+𝑝^2−𝑝𝑞2𝑣	𝑊𝑓1^(11)(𝑥),𝑓2^(11)(𝑥)
13	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥2𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥−11253𝑝−2𝑞𝑝+𝑞^2𝑣^2+𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(12)+𝛾𝑓2^(12)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+4𝑝−𝑞5𝑣𝑥+1𝑣25𝑝+𝑞3𝑝−2𝑞	𝑊𝑓1^(12)(𝑥),𝑓2^(12)(𝑥)
14	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥2𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥−×3𝑝−2𝑞−2𝑠𝑝−𝑞−𝑠^2𝑣^2+𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(13)(𝑥)+𝛾𝑓2^(13)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑠𝑣𝑥−𝑝−𝑞𝑝−𝑞−𝑠𝑣	𝑊𝑓1^(13)(𝑥),𝑓2^(13)(𝑥)
15	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−4𝑝−𝑞2𝑝−𝑞𝑣𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+4𝑝−𝑞^22𝑝−𝑞^2𝑣^3𝑥−2𝑝−𝑞2𝑝−𝑞𝛼𝑣+𝛽𝑒^−((𝑝−𝑞)/2)𝑥+𝛾𝑒^−((2𝑝−𝑞)/2)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥+3𝑝−2𝑞2𝑣𝑥+1𝑣25𝑝+𝑞3𝑝−2𝑞	𝑊𝑒^−((𝑝−𝑞)/2)𝑥,𝑒^−((2𝑝−𝑞)/2)𝑥
16	𝑣𝑡=−4𝑣𝑣𝑥𝑣𝑥𝑥+𝑝2𝑣𝑥+4𝑣^3𝑥+𝑠𝑣^3−12𝛼𝑣+𝛽𝑓1^(14)(𝑥)+𝛾𝑓2^(14)(𝑥),𝑠≠0	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑠𝑣2𝑝	𝑊𝑓1^(14)(𝑥),𝑓2^(14)(𝑥)
17	𝑣𝑡=−𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑣^2𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥−𝑠𝑞𝑓1^(15)(𝑥)𝑣+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑓1^(15)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝−𝑠𝑝−𝑞𝑒^𝑞𝑥𝑠𝑒^𝑞𝑥𝑣−1^𝑥	𝑊𝑓1^(15)(𝑥),1
18	𝑣𝑡=−𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑣^2𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥−𝑞𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑝−𝑞𝑣+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥+−𝑝+𝑞𝑣𝑥	𝑊𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥,1
19	𝑣𝑡=−𝑣^2𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥−𝑝𝑥𝑣+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥	𝑊{𝑥,1}
20	𝑣𝑡=−𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑣𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑓1^(15)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝−𝑠𝑝−𝑞𝑒^𝑞𝑥𝑠𝑒^𝑞𝑥𝑣−1^𝑥	𝑊𝑓1^(15)(𝑥),1
21	𝑣𝑡=−𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑓1^(15)(𝑥)	𝜂=𝑣𝑥𝑥+𝑝−𝑠𝑝−𝑞𝑒^𝑞𝑥𝑠𝑒^𝑞𝑥𝑣−1^𝑥	𝑊𝑓1^(15)(𝑥),1
22	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−𝑣𝑣𝑥^−2𝑣𝑥𝑥−𝑝𝑣𝑥−𝑝+𝑞𝑝−𝑞+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^−((𝑝−𝑞)/2)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞2𝑣𝑥	𝑊𝑒^−((𝑝−𝑞)/2)𝑥,1
23	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−2𝑣𝑣𝑥^−3𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥+(𝑣+1)𝑣𝑥^−1−2𝑒𝑝−𝑞^(𝑝−𝑞)𝑥+𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞2𝑣𝑥	𝑊𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,1
24	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−2(𝑘−3)^3𝑣^2𝑣𝑥^−3𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥−2(𝑘−3)^2𝑣𝑣𝑥^−1+4(𝑘−2)^2−()𝑝−𝑞4𝑞𝑘−3^3(𝑝−𝑞)^2𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥+(𝑘−3)𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞2𝑣𝑥	𝑊𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,1
25	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥2𝑝−𝑞3𝑝+𝑞^3𝑣^2𝑣𝑥^−3𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥+2𝑝−𝑞^2𝑝+2𝑞27𝑝+𝑞^3𝑣𝑥^−1−𝑝−𝑞𝑝+2𝑞9𝑝+𝑞^3+𝑝−𝑞𝑝+2𝑞𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^((𝑝−𝑞)/3)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞3𝑣𝑥	𝑊𝑒^((𝑝−𝑞)/3)𝑥,1
26	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥2𝑝−𝑞2𝑝+𝑞^3𝑣^3𝑣𝑥^−3𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥+𝑞𝑝−𝑞^22𝑝+𝑞^3𝑣^2𝑣𝑥^−1−𝑝−𝑞𝑞2𝑝+𝑞^3𝑣𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−𝑝−𝑞2𝑝+2𝑞𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞2𝑣𝑥	𝑊𝑒^((𝑝−𝑞)/2)𝑥,1
27	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝/2)𝑥2𝑣^3𝑣𝑥^−3𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥−𝑣^2𝑣𝑥^−1+2𝑝𝑣−𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^(𝑝/2)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝2𝑣𝑥	𝑊𝑒^(𝑝/2)𝑥,1
28	𝑣𝑡=𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−3𝑣^32𝑝−𝑞4𝑝+5𝑞𝑣𝑥^4𝑣𝑥𝑥−𝑝3𝑣𝑥−72𝑞𝑝−𝑞^3(4𝑝+5𝑞)^4𝑣^2𝑣𝑥^−2+216𝑞𝑝−𝑞(4𝑝+5𝑞)^4𝑒^(𝑝−𝑞)𝑥−2𝑝−𝑞4𝑝+5𝑞𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^((𝑝−𝑞)/3)𝑥,𝑞≠𝑝	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝−𝑞3𝑣𝑥	𝑊𝑒^((𝑝−𝑞)/3)𝑥,1
29	𝑣𝑡=𝑒^(2𝑝/3)𝑥−3(𝑘−4)^4𝑣^3𝑣𝑥^−4𝑣𝑥𝑥−𝑝3𝑣𝑥−(2𝑘−9)(𝑘−4)^3𝑣^2𝑣𝑥^−2−9(2𝑘−9)(𝑘−4)^3𝑝^2𝑒^(2𝑝/3)𝑥−(𝑘−4)𝛼𝑣+𝛽+𝛾𝑒^(𝑝/3)𝑥	𝜂=𝑣𝑥𝑥−𝑝3𝑣𝑥	𝑊𝑒^(𝑝/3)𝑥,1