An Opposition-Based Evolutionary Algorithm for Many-Objective Optimization with Adaptive Clustering Mechanism

Table 5

The statistical results (mean and standard deviation) of the IGD values obtained by MOEA/D, dMOPSO, MOBI2, ϵ-MOEA, and OBEA on WFG test suits. The best results are italicized.

Problem	M	MOEAD	dMOPSO	MOMBI2	ɛ-MOEA	OBEA
WFG1	3	1.299e + 0 (8.45e − 2) =	1.552e + 0 (7.51e − 3) −	1.094e + 0 (7.15e − 2) −	1.517e + 0 (6.32e − 2) −	5.083e − 1 (7.94e − 2)
	5	1.998e + 0 (9.68e − 2) −	2.210e + 0 (3.04e − 2) −	1.940e + 0 (9.49e − 2) −	2.038e + 0 (1.74e − 2) −	9.814e − 1 (1.56e − 1)
	8	2.840e + 0 (1.72e − 1) −	3.125e + 0 (5.07e − 2) −	2.635e + 0 (2.10e − 1) −	2.693e + 0 (3.05e − 2) −	1.959e + 0 (3.48e − 1)
	10	3.344e + 0 (9.03e − 2) −	3.566e + 0 (5.15e − 2) −	3.070e + 0 (2.26e − 2) −	3.051e + 0 (1.86e − 1) −	2.088e + 0 (4.77e − 2)
	15	4.294e + 0 (8.37e − 2) −	4.587e + 0 (5.58e − 2) −	3.136e + 0 (3.54e − 1) =	3.972e + 0 (6.22e − 2) −	3.115e + 0 (2.48e − 1)
WFG2	3	1.081e + 0 (8.61e − 2) −	9.277e − 1 (1.79e − 1) −	3.477e − 1 (1.76e − 2) −	2.916e − 1 (5.33e − 2) =	2.747e − 1 (6.59e − 2)
	5	5.835e + 0 (2.62e − 1) −	3.811e + 0 (4.64e − 1) −	1.348e + 0 (1.68e − 1) =	8.280e − 1 (2.05e − 1) +	1.502e + 0 (5.72e − 1)
	8	8.889e + 0 (6.72e − 1) −	6.697e + 0 (4.23e − 1) −	2.169e + 0 (4.20e − 1) +	1.482e + 0 (2.97e − 1) +	3.321e + 0 (8.42e − 1)
	10	1.696e + 1 (2.00e − 1) −	1.309e + 1 (2.39e − 1) −	3.028e + 0 (4.88e − 1) +	4.441e + 0 (1.41e + 0) =	4.661e + 0 (1.41e + 0)
	15	2.766e + 1 (1.71e − 1) −	2.274e + 1 (1.33e + 0) −	1.142e + 1 (2.31e + 0) +	3.401e + 0 (6.14e − 1) +	1.632e + 1 (3.19e + 0)
WFG3	3	4.820e − 1 (1.29e − 1) −	4.060e − 1 (7.70e − 2) −	1.453e − 1 (1.76e − 2) +	3.051e − 1 (3.07e − 2) −	1.730e − 1 (1.72e − 2)
	5	1.468e + 0 (3.18e − 1) −	7.413e − 1 (4.80e − 2) −	9.781e − 1 (7.32e − 2) −	7.482e − 1 (3.16e − 2) −	5.355e − 1 (7.74e − 2)
	8	4.279e + 0 (2.87e − 1) −	2.304e + 0 (5.29e − 1) −	3.362e + 0 (4.40e − 1) −	1.107e + 0 (3.13e − 2) +	1.208e + 0 (2.60e − 1)
	10	7.859e + 0 (1.16e + 0) −	3.300e + 0 (8.09e − 1) −	1.263e + 0 (5.16e − 2) +	3.607e + 0 (5.57e − 1) −	1.464e + 0 (2.81e − 1)
	15	1.337e + 1 (1.89e + 0) −	8.238e + 0 (2.91e + 0) −	1.035e + 1 (1.37e + 0) −	1.493e + 0 (8.05e − 2) +	2.640e + 0 (4.70e − 1)
WFG4	3	3.073e − 1 (1.60e − 2) −	4.085e − 1 (2.38e − 2) −	2.616e − 1 (4.73e − 3) −	1.967e − 1 (6.27e − 3) +	2.407e − 1 (3.55e − 3)
	5	2.095e + 0 (1.43e − 1) −	1.648e + 0 (1.15e − 1) −	1.851e + 0 (1.09e − 1) −	8.292e − 1 (5.25e − 2) +	9.865e − 1 (5.77e − 3)
	8	7.380e + 0 (1.28e − 1) −	7.561e + 0 (3.05e − 1) −	4.017e + 0 (5.12e − 1) −	3.549e + 0 (2.22e − 1) −	2.985e + 0 (1.58e − 2)
	10	9.817e + 0 (2.22e − 1) −	1.030e + 1 (2.35e − 1) −	5.938e + 0 (3.00e − 1) −	5.897e + 0 (3.90e − 1) −	4.300e + 0 (5.79e − 2)
	15	1.713e + 1 (3.18e − 1) −	1.672e + 1 (1.74e − 1) −	2.061e + 1 (1.20e + 0) −	1.316e + 1 (4.78e − 1) −	8.888e + 0 (1.17e − 1)
WFG5	3	3.099e − 1 (1.66e − 2) −	4.132e − 1 (3.00e − 2) −	2.748e − 1 (3.00e − 3) −	2.138e − 1 (9.41e − 3) +	2.463e − 1 (2.35e − 3)
	5	2.166e + 0 (8.60e − 2) −	1.314e + 0 (2.07e − 2) −	2.062e + 0 (7.95e − 2) −	9.772e − 1 (2.80e − 2) =	9.842e − 1 (8.25e − 3)
	8	7.144e + 0 (7.49e − 2) −	4.488e + 0 (2.12e − 1) −	3.767e + 0 (3.57e − 2) −	3.139e + 0 (1.64e − 1) −	2.999e + 0 (1.74e − 2)
	10	9.567e + 0 (1.30e − 1) −	5.826e + 0 (2.32e − 1) −	4.820e + 0 (2.18e − 1) −	5.511e + 0 (1.82e − 1) −	4.266e + 0 (4.17e − 2)
	15	1.631e + 1 (1.30e − 1) −	1.084e + 1 (3.02e − 1) −	2.156e + 1 (1.93e + 0) −	1.066e + 1 (6.76e − 1) −	5.491e + 0 (5.43e − 2)
WFG6	3	3.453e − 1 (2.07e − 2) −	4.387e − 1 (5.19e − 2) −	2.842e − 1 (7.16e − 3) −	2.806e − 1 (1.48e − 2) −	2.729e − 1 (8.43e − 3)
	5	2.850e + 0 (3.33e − 1) −	2.372e + 0 (1.64e − 1) −	1.972e + 0 (1.01e − 1) −	1.125e + 0 (2.99e − 2) −	1.047e + 0 (1.15e − 2)
	8	7.849e + 0 (1.55e − 1) −	8.386e + 0 (3.11e − 1) −	3.760e + 0 (8.83e − 2) −	3.268e + 0 (1.34e − 1) −	3.044e + 0 (1.51e − 2)
	10	1.005e + 1 (2.43e − 1) −	1.049e + 1 (2.93e − 1) −	4.999e + 0 (2.82e − 1) −	5.465e + 0 (9.81e − 2) −	4.340e + 0 (4.32e − 2)
	15	1.672e + 1 (1.88e − 1) −	1.686e + 1 (1.64e − 1) −	1.929e + 1 (1.73e + 0) −	1.108e + 1 (6.65e − 1) −	5.619e + 0 (4.12e − 1)
WFG7	3	4.836e − 1 (3.53e − 2) −	4.494e − 1 (1.34e − 2) −	2.607e − 1 (3.93e − 3) −	2.035e − 1 (1.26e − 2) −	1.235e − 1 (3.12e − 4)
	5	2.716e + 0 (3.13e − 1) −	1.523e + 0 (1.36e − 1) −	2.024e + 0 (1.06e − 1) −	9.271e − 1 (3.95e − 2) −	9.132e − 1 (7.13e − 3)
	8	7.776e + 0 (1.67e − 1) −	6.017e + 0 (1.26e + 0) −	3.846e + 0 (3.80e − 1) −	3.218e + 0 (2.54e − 1) −	2.411e + 0 (2.95e − 2)
	10	1.005e + 1 (1.88e − 1) −	5.473e + 0 (4.05e − 1) −	5.523e − 1 (1.38e − 2) =	7.827e − 1 (2.40e − 2) =	5.117e − 1 (1.60e − 2)
	15	1.735e + 1 (1.36e − 1) −	1.394e + 1 (1.98e + 0) −	1.735e + 1 (2.38e + 0) −	1.203e + 1 (7.03e − 1) −	5.814e + 0 (5.17e − 1)
WFG8	3	3.797e − 1 (2.78e − 2) −	5.852e − 1 (3.90e − 2) −	3.184e − 1 (7.85e − 3) −	2.9223e − 1 (7.87e − 3) =	2.913e − 1 (7.74e − 3)
	5	2.131e + 0 (2.08e − 1) −	1.538e + 0 (4.79e − 2) −	2.246e + 0 (6.38e − 2) −	1.116e + 0 (3.62e − 2) −	1.049e + 0 (6.13e − 3)
	8	6.814e + 0 (1.59e − 1) −	6.756e + 0 (4.51e − 1) −	3.973e + 0 (2.38e − 1) −	3.523e + 0 (1.35e − 1) −	3.181e + 0 (1.91e − 2)
	10	9.115e + 0 (2.44e − 1) −	8.869e + 0 (4.10e − 1) −	5.228e + 0 (2.71e − 1) −	5.871e + 0 (5.23e − 1) −	4.762e + 0 (8.61e − 2)
	15	1.324e + 1 (2.71e + 0) −	1.545e + 1 (3.51e − 1) −	1.970e + 1 (1.40e + 0) −	1.138e + 1 (5.51e − 1) −	9.367e + 0 (2.90e − 1)
WFG9	3	4.680e − 1 (6.68e − 2) −	3.495e − 1 (1.33e − 2) −	2.710e − 1 (1.06e − 2) =	2.060e − 1 (3.04e − 2) +	1.321e − 1 (5.13e − 3)
	5	2.141e + 0 (1.10e − 1) −	2.030e + 0 (8.89e − 2) −	1.954e + 0 (9.93e − 2) −	1.015e + 0 (4.68e − 2) −	9.316e − 1 (5.66e − 3)
	8	7.046e + 0 (2.36e − 1) −	6.721e + 0 (4.80e − 1) −	3.715e + 0 (4.70e − 2) −	3.276e + 0 (1.53e − 1) −	3.104e + 0 (4.92e − 2)
	10	9.240e + 0 (6.11e − 1) −	8.124e + 0 (7.77e − 1) −	5.123e + 0 (1.95e − 1) −	5.399e + 0 (7.48e − 2) −	4.231e + 0 (7.16e − 2)
	15	1.436e + 1 (2.01e + 0) −	1.132e + 1 (5.41e − 1) −	2.143e + 1 (1.63e + 0) −	1.127e + 1 (6.58e − 1) −	5.793e + 0 (6.84e − 1)
		0/44/1	0/45/0	5/36/4	9/31/5