A New Initialization Approach in Particle Swarm Optimization for Global Optimization Problems

Table 2

Comparative results among the four PSO algorithms on 15 benchmark test functions.

F#	Iter	DIM	PSO		SO-PSO		H-PSO		WE-PSO
			Mean	Std. dev	Mean	Std. dev	Mean	Std. dev	Mean	Std. dev
1	1000	10	2.33E − 74	7.36E − 74	2.74E − 76	8.66E − 76	3.10E − 77	9.79E − 77	5.91E − 78	1.87E − 77
	2000	20	1.02E − 84	3.22E − 84	8.20E − 88	2.59E − 87	1.76E − 90	5.58E − 90	4.95E − 90	1.48E − 89
	3000	30	1.77E − 26	5.32E− 26	7.67E − 20	2.30E − 19	4.13E − 32	1.24E − 31	1.30E − 42	3.90E − 42
2	1000	10	4.97E − 01	1.49E + 00	4.97E − 01	1.49E + 00	7.96E − 01	2.39E + 00	2.98E − 01	8.95E − 01
	2000	20	8.17E + 00	2.29E + 01	6.47E + 00	1.91E + 01	3.58E + 00	9.79E + 00	3.11E + 00	1.10E + 01
	3000	30	1.01E + 01	2.95E + 01	9.86E + 00	2.76E + 01	9.45E + 00	27.6991	7.76E + 00	2.20E + 01
3	1000	10	8.70E − 80	2.61E − 79	1.79E − 79	5.37E − 79	4.87E − 79	1.46E − 78	4.40E − 81	1.32E − 80
	2000	20	2.62144	7.86E + 00	7.86432	2.36E + 01	2.62144	7.86E + 00	1.78E − 89	5.33E − 89
	3000	30	2.62E + 01	7.86E + 01	1.57E + 01	4.72E + 01	1.05E + 01	31.4573	3.87E − 57	1.16E − 56
4	1000	10	4.46E − 147	1.34E − 146	3.86E − 147	1.16E − 146	9.78E − 145	2.93E − 144	1.24E − 150	3.73E − 150
	2000	20	3.14E − 155	9.41E − 155	9.27E − 154	2.78E − 153	2.75E − 159	8.24E − 159	4.96E − 159	1.49E − 158
	3000	30	1.82E − 133	5.45E − 133	2.36E − 135	7.09E − 135	8.53E − 130	2.56E − 129	2.54E − 136	7.62E − 136
5	1000	10	4.35E − 79	1.30E − 78	8.95E − 79	2.69E − 78	2.43E − 78	7.30E − 78	2.20E − 80	6.61E − 80
	2000	20	1.31E + 01	3.93E + 01	3.93E + 01	1.18E + 02	1.31E + 01	3.93E + 01	3.12E − 89	9.36E − 89
	3000	30	1.31E + 02	3.93E + 02	7.86E + 01	2.36E + 02	5.24E + 01	1.57E + 02	1.94E − 56	5.81E − 56
6	1000	10	1.70E − 61	5.11E − 61	4.45E − 64	1.33E − 63	7.29E − 66	2.19E − 65	4.62E − 66	1.39E− 65
	2000	20	3.25E − 112	9.74E − 112	4.39E − 112	1.32E − 111	5.01E − 109	1.50E − 108	4.45E − 113	1.34E − 112
	3000	30	7.21E − 135	2.16E − 134	4.10E − 124	1.23E − 123	1.51E − 134	4.54E − 134	6.96E − 135	2.09E − 134
7	1000	10	2.96E − 157	8.87E − 157	2.39E − 157	7.18E − 157	1.28E − 157	3.84E − 157	2.47E − 163	0.00E + 00
	2000	20	8.79E − 177	0.00E + 00	1.77E − 184	0.00E + 00	3.49E − 183	0.00E +00	3.41E −186	0.00E + 00
	3000	30	1.23E − 82	3.68Ev− 82	1.25E − 116	3.74E − 116	5.99E − 130	5.99E − 130	4.60E − 134	1.38E − 133
8	1000	10	4.39E − 200	0.00E + 00	1.98E − 194	0.00E + 00	4.51E − 197	0.00E + 00	8.99E − 201	0.00E + 00
	2000	20	1.57E − 20	4.70E − 20	1.04E − 93	3.13E − 93	1.10E − 148	3.30E − 148	4.09E − 151	1.23E − 150
	3000	30	1.89E − 09	5.68E − 09	4.54E − 10	1.36E − 09	1.14E − 08	3.43E − 08	1.34E − 09	4.03E − 09
9	1000	10	5.49E − 01	6.72E − 01	1.30E − 01	2.02E − 01	2.02E −01	5.73E − 01	1.42E − 01	1.42E − 01
	2000	20	2.05E + 00	1.31E + 00	7.83E − 01	1.43E + 00	6.83E − 01	1.29E + 00	4.32E − 01	1.08E + 00
	3000	30	1.12E + 00	2.39E + 00	9.99E − 01	2.30E + 00	9.56E − 01	2.52E + 00	9.12E − 01	2.23E + 00
10	1000	10	2.23E − 138	2.23E − 138	2.23E − 138	3.15E − 137	4.35E − 137	1.31E − 136	1.10E − 139	3.31E − 139
	2000	20	3.79E − 148	1.14E − 147	7.87E − 149	2.36E − 148	4.19E − 147	1.26E − 146	8.73E − 153	2.62E − 152
	3000	30	4.43E − 126	1.33E − 125	7.52E − 133	2.26E − 132	1.57E − 128	4.71E − 128	1.38E − 133	4.14E − 133
11	1000	10	3.75E − 187	0.00E + 00	1.57E − 192	0.00E + 00	2.15E − 191	0.00E + 00	8.99E − 198	0.00E + 00
	2000	20	5.29E − 193	0.00E + 00	2.53E − 195	0.00E + 00	8.45E − 195	0.00E + 00	9.83E − 197	0.00E + 00
	3000	30	4.82E − 154	1.44E − 153	8.84E − 159	2.65E − 158	5.49E − 168	0.00E + 00	5.75E −173	0.00E + 00
12	1000	10	1.13E − 01	3.40E − 01	1.67E − 02	5.02E − 02	2.28E − 02	6.85E − 02	2.89E − 03	8.66E − 03
	2000	20	1.39E + 01	4.12E + 01	5.03E + 00	1.50E + 01	2.95E + 00	8.84E + 00	1.67E + 00	5.01E + 00
	3000	30	7.45E + 00	2.23E + 01	1.22E + 01	3.66E + 01	8.74E + 00	2.60E + 01	4.94E + 00	1.48E + 01
13	1000	10	8.04E − 26	2.41E − 25	8.01E − 27	2.40E − 26	3.59E − 27	1.08E − 26	1.41E − 27	1.02E − 26
	2000	20	1.42E − 08	4.26E − 08	2.64E − 11	7.93E − 11	3.29E − 10	9.86E − 10	2.14E − 12	6.43E − 12
	3000	30	6.20E − 03	1.86E − 02	1.41E − 03	4.23E − 03	9.36E − 03	2.81E − 02	1.41E − 03	3.83E − 03
14	1000	10	3.62E − 38	1.09E − 37	3.62E − 38	1.09E − 37	5.92E − 36	1.77E − 35	1.95E − 38	5.86E − 38
	2000	20	6.27E − 10	1.88E − 09	1.38E − 09	4.14E − 09	7.91E − 13	2.37E − 12	1.17E −13	3.51E − 13
	3000	30	2.56E − 06	7.67E − 06	4.80E + 01	1.44E + 02	1.34E − 06	4.03E − 06	4.88E − 09	1.46E − 08
15	1000	10	1.10E − 294	0.00E + 00	3.19E − 301	0.00E + 00	2.78E − 307	0.00E + 00	3.21E − 308	0.00E + 00
	2000	20	6.16E − 271	0.00E + 00	5.09E − 276	0.00E + 00	3.74E − 270	0.00E + 00	4.85E − 268	0.00E + 00
	3000	30	3.08E − 207	0.00E + 00	1.04E − 200	0.00E + 00	8.12E − 209	0.00E + 00	3.06E − 212	0.00E + 00

Note: “‘Mean”’ shows mean value and “Std. dev” indicates the standard deviation. The best results among the four PSO algorithms are presented in bold.