Let <mml:math alttext="$A$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> be a nonvoid countable subset of the unit interval <mml:math alttext="$\left[ {0,1} \right]$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and let <mml:math alttext="$B$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> be an <mml:math alttext="$F_\sigma  $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>&#963;</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math>-subset of <mml:math alttext="$\left[ {0,1} \right]$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> disjoint from <mml:math alttext="$A$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>. Then there exists a derivative <mml:math alttext="$f$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> on <mml:math alttext="$\left[ {0,1} \right]$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> such that <mml:math alttext="$0 \leqslant f \leqslant 1$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$f = 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> on <mml:math alttext="$A$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, <mml:math alttext="$f &#62; 0$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>&#62;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> on <mml:math alttext="$B$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math>, and such that the extended real valued function <mml:math alttext="${1 \mathord{\left/  {\vphantom {1 f}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} f}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is also a derivative.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

A simultaneous solution to two problems on derivatives

Abstract

Copyright