Recently Al-Salam and Verma discussed two polynomial sets <mml:math alttext="$\left\{ {Z_n^{\left( \alpha  \right)} \left( {x,k|q} \right)} \right\}$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$\left\{ {Y_n^{\left( \alpha  \right)} \left( {x,k|q} \right)} \right\}$" id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> which are biorthogonal on <mml:math alttext="$\left( {0,\infty } \right)$" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#x221E;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> with respect to a continuous or discrete distribution function. For the polynomials <mml:math alttext="$Y_n^{\left( \alpha  \right)} \left( {x,k|q} \right)$" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#x3B1;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> the operational formula is derived.

On the <mml:math alttext="$q$" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-Konhauser biorthogonal polynomials

On the <svg style="vertical-align:-3.50804pt" height="12.1125" version="1.1" viewBox="0 0 8.4750004 12.1125" width="8.4750004" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,.062,7.675)"><path id="x1D45E" d="M474 429q-19 -69 -47 -222l-65 -347q-8 -49 0 -60t49 -16l26 -3l-4 -26l-246 -12l4 25l17 3q37 6 50 20.5t23 60.5l67 321h-2q-65 -79 -150 -138q-69 -47 -104 -47q-28 0 -48.5 32t-20.5 81q0 78 35 148t90 117q67 57 161 77q23 5 58 5q43 0 90 -15zM387 387&#xA;q-30 16 -75 16q-58 0 -92 -27q-49 -39 -78.5 -112t-29.5 -136q0 -34 8.5 -52.5t21.5 -18.5q40 0 109.5 63.5t103.5 115.5q16 53 32 151z" /></g></svg>-Konhauser biorthogonal polynomials

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

On the q-Konhauser biorthogonal polynomials

Abstract

Copyright