In this note we present a proof of the inequality <mml:math alttext="${{H_n } \mathord{\left/  {\vphantom {{H_n } {H'_n }}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} {H'_n }} \leqslant {{G_n } \mathord{\left/  {\vphantom {{G_n } {G'_n }}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} {G'_n }}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:msup><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> where <mml:math alttext="$H_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$G_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> (resp. <mml:math alttext="$H'_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$G'_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:msup><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>&#8242;</mml:mo></mml:msup><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math>) denote the weighted harmonic and geometric means of <mml:math alttext="$x_1 , \ldots ,x_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> (resp. <mml:math alttext="$1 - x_1 , \ldots ,1 - x_n $" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math>) with <mml:math alttext="$x_i  \in \left( {0,{1 \mathord{\left/  {\vphantom {1 2}} \right.  \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \right]$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#8712;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$i = 1, \ldots ,n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

An inequality of W. L. Wang and P. F. Wang

Abstract

Copyright