The Lucas sequence is defined by: 
<mml:math alttext="\[ L_0  = 2,L_1  = 1,L_n  = L_{n - 1}  + L_{n - 2}  \]" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math> for <mml:math alttext="\[ n \geqslant 2 \]" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8805;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>. Let
<mml:math alttext="$V(n)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$r(n)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> denote respectively the number of partitions of <mml:math alttext="$n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> into parts, distinct parts from <mml:math alttext="$\{L_n\}$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. We
develop formulas that facilitate the computation of <mml:math alttext="$V(n)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$r(n)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Lucas partitions

Abstract

Copyright