In this paper, we establish the following result: Let <mml:math alttext="$M$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math> be an <mml:math alttext="$n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>-dimensional complete totally real minimal submanifold immersed in <mml:math alttext="$CP^n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:msup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> with Ricci curvature bounded from below. Then either <mml:math alttext="$M$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math> is totally geodesic or <mml:math alttext="$\inf r \le (3n+1)(n-2)/3$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>inf</mml:mo><mml:mtext>&#8201;</mml:mtext><mml:mtext>&#8201;</mml:mtext><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&#8804;</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#8722;</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math>, where <mml:math alttext="$r$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> is the scalar curvature of 
<mml:math alttext="$M$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>M</mml:mi></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Totally real submanifolds in a complex projective space

Abstract

Copyright