We show that any bounded matrix of linear functionals
<mml:math alttext="$[f_{ij}]:M_n(A)\rightarrow M_n(\mathbb{C})$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&#8594;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#8450;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> has a representation
<mml:math alttext="$f_{ij}(a)=\langle T\pi(a)x_j,x_i\rangle$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>&#9001;</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>&#960;</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&#9002;</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, <mml:math alttext="$a\in A$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>&#8712;</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, <mml:math alttext="$i,j=1,2,\dotsc,n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, for some representation <mml:math alttext="$\pi$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#960;</mml:mi></mml:math> on a Hilbert space <mml:math alttext="$K$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>K</mml:mi></mml:math> and an <mml:math alttext="$n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> vectors <mml:math alttext="$x_1,x_2,\dotsc,x_n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#8230;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> in <mml:math alttext="$K$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>K</mml:mi></mml:math>.

An <mml:math alttext="$n\times n$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math> matrix of linear functionals of <mml:math alttext="$C^*$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math>-algebras

An <svg style="vertical-align:-0.1638pt" height="8.7124996" version="1.1" viewBox="0 0 34.724998 8.7124996" width="34.724998" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,.062,8.438)"><path id="x1D45B" d="M495 86q-46 -47 -87 -72.5t-63 -25.5q-43 0 -16 107l49 210q7 34 8 50.5t-3 21t-13 4.5q-35 0 -109.5 -72.5t-115.5 -140.5q-21 -75 -38 -159q-50 -10 -76 -21l-6 8l84 340q8 35 -4 35q-17 0 -67 -46l-15 26q44 44 85.5 70.5t64.5 26.5q35 0 10 -103l-24 -98h2&#xA;q42 56 97 103.5t96 71.5q46 26 74 26q9 0 16 -2.5t14 -11.5t9.5 -24.5t-1 -44t-13.5 -68.5q-30 -117 -47 -200q-4 -19 -3.5 -25t6.5 -6q21 0 70 48z" /></g><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,12.37,8.438)"><path id="xD7" d="M528 54l-36 -38l-198 201l-198 -201l-36 38l197 200l-197 201l36 38l198 -202l198 202l36 -38l-197 -201z" /></g><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,26.122,8.438)"><use xlink:href="#x1D45B"/></g></svg> matrix of linear functionals of <svg style="vertical-align:-0.23206pt" height="14.0375" version="1.1" viewBox="0 0 19.7125 14.0375" width="19.7125" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="matrix(.017,-0,0,-.017,.062,13.688)"><path id="x1D436" d="M682 629q-1 -16 -1.5 -72t-2.5 -86l-31 -4q-5 92 -51 129t-139 37q-100 0 -177 -49t-116 -125t-39 -162q0 -122 66 -201t182 -79q83 0 137 42.5t112 128.5l26 -15q-12 -31 -42.5 -88t-45.5 -75q-139 -27 -199 -27q-148 0 -243 81.5t-95 226.5q0 173 129.5 274.5&#xA;t325.5 101.5q114 0 204 -38z" /></g><g transform="matrix(.012,-0,0,-.012,12.05,5.525)"><path id="x2217" d="M471 153q-22 -15 -61 -13q-25 31 -45.5 49.5t-56.5 41.5q4 -71 28 -134q-17 -33 -42 -46q-24 12 -42 46q24 63 28 134q-36 -23 -56.5 -41.5t-45.5 -49.5q-36 -2 -61 13q0 28 19 59q65 10 130 43q-65 33 -130 43q-19 31 -19 59q22 15 61 13q25 -31 45.5 -49.5t56.5 -41.5&#xA;q-4 71 -28 134q17 33 42 46q24 -12 42 -46q-24 -63 -28 -134q36 23 56.5 41.5t45.5 49.5q36 2 61 -13q0 -28 -19 -59q-65 -10 -130 -43q65 -33 130 -43q19 -31 19 -59z" /></g></svg>-algebras

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

An n×n matrix of linear functionals of C∗-algebras

Abstract

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