We research the asymptotic formula for the lengths of the
instability intervals of the Hill's equation with coefficients
<mml:math alttext="$q(x)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$r(x)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, where <mml:math alttext="$q(x)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is piecewise continuous and
<mml:math alttext="$r(x)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> has a piecewise continuous second derivative in open
intervals <mml:math alttext="$(0,b)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="$(b,a)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><mml:math alttext="$(0 &#60; b &#60; a)$" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&#60;</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>&#60;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

On Hill's equation with a discontinuous coefficient

Abstract

Copyright